Rioplatense 2013 N3 P6

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Matías V5

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Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 06 Dic, 2013 5:24 pm

Sea [math] un triángulo acutángulo y escaleno, con ortocentro [math] y baricentro [math]. La circunferencia de diámetro [math] corta nuevamente a la circunferencia circunscripta al triángulo [math] en [math]. Se definen de manera análoga los puntos [math] y [math]. Demostrar que los puntos [math], [math], [math] y [math] pertenecen a una misma circunferencia.
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Ivan

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Re: Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 07 Dic, 2013 12:56 pm

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Llamamos [math], [math], [math] a los pies de las alturas.
Consideramos tres circunferencias:
[math]
Por centro radical, las rectas [math], [math] y [math] concurren en un punto que llamaremos [math]. Llamamos [math].

Tenemos
[math]
Luego [math] es el punto medio de [math], equivalentemente [math] está en la mediana, o sea que los puntos [math], [math] y [math] son colineales.

Finalmente [math] por lo tanto [math]. O sea que [math] está en la circunferencia de diámetro [math]. Análogamente, [math] y [math] también están en esa circunferencia y estamos.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

tuvie

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Re: Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por tuvie » Jue 01 Dic, 2016 8:58 pm

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Vamos a probar que [math] cae en la mediana con respecto a [math]. Para eso, llamamos a [math] el punto sobre la mediana tal que [math]. Al ser el triangulo acutangulo, es interior a [math], donde [math] es punto medio de [math]. Ahora, por potencia de un punto [math], por lo que [math]y [math] y por ende [math]. Como [math], [math] es ciclico. Sin perdida de generalidad [math]. Entonces [math]. Notemos que [math], por lo que [math], y [math] pertenece a la circunferencia de diametro [math], es decir, es la interseccion de la circunscripta de [math] y la de diametro [math], es decir, es [math]. Entonces, como [math] esta en la mediana y [math] es perpendicular a esta, [math], es decir, [math] pertenece a la circunferencia de diametro [math]. Aplicando el mismo razonamiento con los otros dos, se llega a que estos cinco puntos son ciclicos, y en particular los que pide el enunciado.

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Matías V5

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Re: Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 22 Feb, 2017 11:47 pm

Otra forma de probar que
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[math] está sobre la mediana [math]
es la siguiente:
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Claramente, basta ver que [math] y [math] son perpendiculares (pues ya sabemos que [math] es perpendicular a [math], así que esto implicaría que [math] son colineales).
La recta [math] es el eje radical de la circunferencia de diámetro [math] y la circunferencia circunscripta de [math]. Por lo tanto, es perpendicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias. Sea entonces [math] el punto medio de [math] y [math] el circuncentro de [math]. Queremos ver que [math].
Usando que [math] se ve que si [math] es el simétrico de [math] respecto de [math] resulta que [math] son concíclicos. Por simetría, el centro [math] de esta circunferencia resulta ser el simétrico de [math] respecto de [math]. Y entonces [math] es un paralelogramo, pues claramente [math] y [math] son paralelas (ambas perpendiculares a [math] y además [math] (acá estoy usando el lema conocido de [math]). Entonces [math], como queríamos.
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MateoCV

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Re: Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por MateoCV » Sab 17 Nov, 2018 2:34 pm

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Veamos que $A$ es el ortocentro del triángulo $BHC$. Sea $H'$ el simétrico de $A$ respecto del punto medio del lado $BC$. Es conocido que $H'$ es el punto diametralmente opuesto a $H$ en la circunscrita de $BHC$. Sea $X$ el punto de intersección de $AG$ con la circunscrita de $BHC$. Luego $\angle HXH'=90º$ y $\angle AXH=90º$, entonces $X$ está en la de diámetro $AH$ y por lo tanto $X=A'$ y $HA'G=90º$. Luego $A'$ está en la circunferencia de diámetro $HG$ y de forma análoga $B'$ y $C'$ también y por lo tanto $A'B'C'G$ es cíclico
$2^{82589933}-1$ es primo

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2013 N3 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 05 Mar, 2019 2:43 pm

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Sean $DEF$ el triángulo órtico de $ABC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ el punto donde $AM$ vuelve a cortar a la circunferencia de diámetro $AH$.
Como $HD\perp BC$, $HE\perp CA$ y $HF\perp AB$ tenemos que $AEHF$, $BFHD$ y $CDHE$ son cíclicos y $AH$, $BH$, $CH$ son los diámetros de $\odot AEHF$, $\odot BFHD$ y $\odot CDHE$, entonces $P\in \odot AEHF$. Luego, por Potencia de un Punto tenemos $AF\cdot AB=AH\cdot AD=AE\cdot AC$, entonces la inversión con centro $A$ y radio $\sqrt{AH\cdot AD}$ manda $F$ a $B$, $H$ a $D$ y $E$ a $C$, entonces manda $\odot AHEF$ a $BC$, por lo tanto manda $P$ a $M$. Como $D,E,F,M$ están sobre la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ (y $A$ no está sobre esta circunferencia), tenemos que $B,C,P,H$ están sobre una circunferencia. Entonces $P$ está sobre la circunferencia de diámetro $AH$ y sobre el circuncírculo de $BHC$, además es distinto de $H$ (pues $ABC$ es escaleno), por lo que $P=A'$, luego $HA'\perp AA'\Rightarrow HA'\perp A'G$, por lo que $A'$ está sobre la circunferencia de diámetro $GH$, análogamente $B'$ y $C'$ están sobre la circunferencia de diámetro $GH$. QED
[math]

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