P3 N2 Regional OMA 2010

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amcandio

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P3 N2 Regional OMA 2010

Mensaje sin leer por amcandio » Jue 10 Feb, 2011 5:20 pm

Sea [math] un trapecio de bases [math] y [math], con [math], tal que [math] y [math]. Sea [math] el punto medio de [math]. Si [math], calcular la medida del segmento [math].
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"

jonyayala_95
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Re: P3 N2 Regional OMA 2010

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Mié 13 Jul, 2011 9:10 pm

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Imagen1.png
Sea [math] el punto medio de [math].

Como [math] que seria la base media de [math]. De esto [math]

Como [math]

Tenemos que [math] es punto medio de [math] entonces [math]

Aplicando Teorema del Coseno en [math] (Recordemos que [math]

[math]

[math]

[math] :D
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Vladislao

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Re: P3 N2 Regional OMA 2010

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 13 Sep, 2011 3:31 pm

Una sin Teorema del Coseno:
Spoiler: mostrar
regional.PNG
Sea [math] en [math] tal que [math]. Como [math] y [math], sigue que el triángulo [math] es un medio equilátero, luego [math], y como [math], sigue que [math].

Por Pitágoras en el [math] sale fácil que [math].

Ahora, prolongamos [math] hasta que corte a la recta [math] en [math]. Los triángulos [math] y [math] tienen los lados paralelos, por lo que son semejantes, y como [math] sigue que los triángulos son congruentes.

Entonces, como [math] y [math], entonces [math] es un paralelogramo.

Como [math], entonces [math].

Ahora, en el triángulo [math] tenemos que [math], entonces, por Pitágoras:

[math]

Y usando los datos que teníamos:

[math]

Por lo que, finalmente:

[math]
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: P3 N2 Regional OMA 2010

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 27 Sep, 2018 9:47 pm

Una solución más general
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Sean $E$ el punto medio de $AD$ y $F$ en el segmento $AB$ tal que $EA=FA$
Por ángulos entre paralelas, $\angle FAD=\angle DEM$. Por ser $E$ punto medio de $AD$ tenemos $DE=EA=FA$. Por ser base media de un trapecio, $ME=\frac{AB+CD}{2}=AD$. Luego, $\triangle FAD\equiv \triangle DEM\Rightarrow MD=DF$
Aplicado al problema
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Sea $F'$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $AB$, como $\angle BAD=60°$, tenemos que $F'AD$ es medio equilátero, por lo que $F'A=EA=FA$, de donde $F'=F$, entonces $MD=DF=5\sqrt{3}$
[math]

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