Rioplatense 2013 N2 P5

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Matías V5

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Rioplatense 2013 N2 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 06 Dic, 2013 5:09 pm

Sea [math] un triángulo. La circunferencia exinscripta a [math] relativa al vértice [math] es tangente al lado [math] en [math], y a las prolongaciones de los lados [math] y [math] en [math] y [math], respectivamente. Sea [math] un punto sobre la circunferencia circunscripta al triángulo [math], tal que los arcos [math] y [math] son iguales, y que [math] y [math] pertenecen al mismo semiplano respecto a la recta [math]. La recta [math] corta a la circunferencia circunscripta a [math] nuevamente en [math], y la recta [math] corta a [math] en [math]. Demostrar que [math] es perpendicular a [math].
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

fleschler.ian

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Re: Rioplatense 2013 N2 P5

Mensaje sin leer por fleschler.ian » Mié 21 Oct, 2015 1:27 am

Spoiler: mostrar
Rio 2013 P5.png
Empecemos observando que [math] y [math].
Por el teorema de la bisectriz generalizado/extensión del teorema del seno (link a la demostración:http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=713) tenemos:
[math] (Aplicando el teorema de la bisectriz generalizado en el triangulo [math] con el punto[math])
Sabemos que [math] Porque son los puntos de tangencia del excirculo. Por lo tanto:
[math]
Por las igualdades de ángulos que teníamos sabemos que[math].
Aplicando el teorema de la bisectriz generalizado en el triangulo [math] con el punto [math] tenemos: [math]
Por enunciado [math].
Entonces: [math]. Remplazando lo obtenido anteriormente nos queda que [math].
Sea [math] el pie de la perpendicular de [math] en [math]. Mostraremos que [math] y estamos, ya que hay un único punto en [math] que cumple esa razón, lo que implicaría [math] . Eso demuestra el problema porque tendríamos ahora que [math] es el pie de la perpendicular de [math] en [math] que era lo que queríamos demostrar.
Sea [math] el excentro del triangulo [math].
Hagamos angulitos:
Como [math] entonces [math]. Como [math] entonces [math]. Como [math] entonces [math].
[math]. [math] .
Por definicion de coseno: [math]. [math].
Las dividimos: [math]
Por el teorema del seno en el triangulo [math], [math]
Haciendo exactamente lo mismo en el triangulo [math] nos queda [math]
Dividimos estas ultimas dos igualdades y nos queda: [math]
Enchufamos lo ultimo obtenido en esta cuenta [math], y nos queda:
[math]
Para ver que [math] necesitamos ver que [math] así se nos anula todo y nos queda.
Esta ultima cuenta es verdad ya que [math] porque se verifica que[math](Para demostrar esto ultimo queremos ver que [math] que es verdad) . Y[math]ya que se verifica que[math] Por el mismo argumento que antes.
Ya vimos que [math], por lo tanto [math]. Lo que implica [math]. QED.
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Prillo

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Re: Rioplatense 2013 N2 P5

Mensaje sin leer por Prillo » Sab 24 Oct, 2015 2:19 am

Spoiler: mostrar
Lema (sale facil): Si [math] es isoceles con [math] y [math] pertenece al lado [math], entonces [math].

Con el lema: [math].

Ahora sea [math] el pie de la perpendicular desde [math] a [math]. Si demostramos que [math] ganamos porque entonces [math] y [math] son el mismo punto.

Sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Luego [math] y [math]. Como [math] entonces los triangulos [math] y [math] son semejantes. Analogamente [math] y [math] son semejantes. Luego [math] y [math]. Entonces [math], listo.

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2013 N2 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 19 Jun, 2020 9:08 pm

Es Río 2008 N3 P5 con un excírculo en vez del incírculo. Y sale de la misma forma...
Queda Elegantemente Demostrado

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