T. Ciudades - Octubre 2013 - N. Mayor P3

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Ivan

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T. Ciudades - Octubre 2013 - N. Mayor P3

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 28 Oct, 2013 10:28 pm

Sea [math] un triángulo equilátero de centro [math]. Una recta trazada por [math] corta a la circunferencia circunscrita del triángulo [math] en los puntos [math] y [math]. Demostrar que los puntos [math], [math] y los puntos medios de los segmentos [math] y [math] son concíclicos.
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por los tres vértices del triángulo
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Nacho

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Re: T. Ciudades - Octubre 2013 - N. Mayor P3

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 28 Oct, 2013 11:11 pm

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Sea [math] el opuesto diametral a [math] en la circunscripta de [math]. Sea [math] la reflexión de [math] por [math]. Notar que al ser [math] equilátero, tenemos que [math] es rectángulo en [math]. Entonces, [math] está en [math] pues [math].
Por semejanza tenemos que [math].
Luego, por Potencia de un Punto, y al ser [math] tangente a la circunscripta de [math] (por ser [math] equilátero), tenemos que [math].
Entonces, [math], y así [math] es cíclico. Homoteciando con centro [math] y razón [math] tenemos que [math] va a [math], [math] a [math] y [math] y [math] a los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Como homotecias mantiene los cíclicos, estamos [math]
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Prillo

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Re: T. Ciudades - Octubre 2013 - N. Mayor P3

Mensaje sin leer por Prillo » Mar 29 Oct, 2013 12:20 am

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Sean [math] los puntos medios de [math] respectivamente. Sea [math] el punto medio de [math]. Es claro que [math] para por [math]. Pero también es fácil ver que [math] pasa por [math]. Luego [math] y [math] concurren en [math]. Ahora, como [math] entonces [math] es tangente al circuncírculo del triángulo [math]. Por potencia de un punto, se sigue que [math], y así [math] son concíclicos.

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Gianni De Rico

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Re: T. Ciudades - Octubre 2013 - N. Mayor P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 01 Sep, 2018 8:11 pm

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Sean $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $BC$, $BD$ y $BE$ respectivamente. Por Thales tenemos que $FG\parallel GH\parallel DE$ por lo que $F,G,H$ son colineales, por ser $F$ el punto medio de $BC$, tenemos que $A,O,F$ son colineales.
Además, como $C\widehat BA=180°-A\widehat OB$ tenemos que $CB$ es tangente al circuncírculo de $AOB$ por ser el ángulo exinscripto. Luego $FO\cdot FA=FB^2$.
Ahora, $FG\cdot FH=\frac{1}{2}CD\cdot \frac{1}{2}CE=\frac{1}{4}CB^2=(\frac{1}{2}CB)^2=FB^2=FO\cdot FA$. Por potencia de un punto queda demostrado que $A,O,G,H$ son concíclicos.
[math]

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