Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 2

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Caro - V3

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Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 02 Feb, 2011 8:50 pm

Sea [math] un triángulo isósceles en [math]. La circunferencia inscrita es tangente a [math], [math] y [math] en [math], [math] y [math] respectivamente. Sea [math] en el arco [math] que no contiene a [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y la circunferencia inscrita de [math]. Las rectas [math] y [math] cortan a la recta [math] en [math] y [math] respectivamente. Demostrar que los puntos [math], [math], [math] y [math] pertenecen a una circunferencia y que [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 2

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 22 Feb, 2011 3:28 pm

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sel imo 2010.PNG
Notemos, primero, que [math]. Pues [math] es isósceles, y es inmediato ver que el triángulo [math] es semejante al original, de donde se ve el paralelismo.

a) Notemos que [math]. Además, notemos que [math] es el ángulo semiinscripto al incírculo, correspondiente al arco [math]. Como [math] subtiende al arco [math] que contiene a D, tenemos que [math].

Entonces es claro que [math], de donde PFBM es cíclico.

b) La igualdad que debemos probar es equivalente a [math]. (Teorema del seno en los triángulos BFP y EMN).

Notemos que [math] (la última igualdad por alternos internos entre paralelas).
En particular [math] (1)

Además, tenemos que [math] (por la ciclicidad ya demostrada), además [math], entonces:
[math], y de esto último concluimos:

[math] (2)

De (1) y (2), se sigue lo pedido.
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Caro - V3

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 18 Sep, 2012 11:11 pm

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[math] es isósceles en [math], entonces [math] y [math].
[math]
[math]
Selectivo de IMO 2010.png
[math] es tangente a la circunferencia circunscripta al triángulo [math], entonces [math].

[math] es cíclico [math]
[math] (son opuestos por el vértice)
[math]

Los triángulos [math] y [math] tienen:
  • [math]
  • [math]
  • [math]
Por lo tanto son congruentes. Esto implica que [math] y [math].

[math] [math] y [math] son simétricos respecto de [math].
Por lo tanto tenemos las siguientes igualdades:
  • [math]
    [math]
[math] los puntos [math], [math], [math] y [math] pertenecen a una circunferencia, como queríamos demostrar.


[math]

[math]
[math]

Los triángulos [math] y [math] tienen dos ángulos respectivamente congruentes, por lo tanto son semejantes.

Por ser semejantes: [math], como queríamos demostrar.
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 05 May, 2018 6:10 pm

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Sea $B\widehat AC=2\alpha$. Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$, como $A\widehat FI=A\widehat EI=90°$ tenemos $F\widehat IE=180°-2\alpha\Rightarrow F\widehat PE=180°-\frac{180°-2\alpha}{2}=90°+\alpha=F\widehat PM$. Como $\triangle ABC$ es isósceles en $A$ resulta $A\widehat BC=90°-\alpha=F\widehat BM$. Entonces $F\widehat PM+F\widehat BM=90°+\alpha+90°-\alpha=180°\Rightarrow PFBM$ es cíclico.

Por ser tangentes a al incírculo desde $A$, tenemos que $AF=AE$ y por Thales $EF\parallel BC\parallel MN$. Tenemos $N\widehat MF=B\widehat EF$; por ser $PFBM$ cíclico, $B\widehat MF=B\widehat PF=Q\widehat PF$; por ser $PEQF$ cíclico, $Q\widehat PF=Q\widehat EF=N\widehat EF$; y por alternos internos $N\widehat EF=E\widehat EN$. Entonces $N\widehat MF=E\widehat NM\Rightarrow EFNM$ es un trapecio isósceles $\Rightarrow EN=MF$.

Por estar alineados, $E\widehat MF=P\widehat MF$, por alternos internos, $E\widehat FM=B\widehat MF$; por ser $PFBM$ cíclico, $B\widehat MF=B\widehat PF$ y $P\widehat MF=P\widehat BF$. Entonces $E\widehat MF=F\widehat BP$ y $E\widehat FM=F\widehat PB\Rightarrow \triangle EFM\simeq \triangle FPB\Rightarrow \frac{EM}{MF}=\frac{BF}{BP}\Rightarrow \frac{EM}{EN}=\frac{BF}{BP}$
[math]

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