Problema 1 APMO 2013

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Matías V5

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Problema 1 APMO 2013

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 04 May, 2013 2:20 am

Sea [math] un triángulo acutángulo con alturas [math], [math] y [math], y sea [math] el centro de su circunferencia circunscrita. Demostrar que los segmentos [math], [math], [math], [math], [math], [math] dividen al triángulo [math] en tres pares de triángulos de igual área.
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Nacho

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Re: Problema 1 APMO 2013

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 04 May, 2013 2:28 am

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Vamos a probar que [math] y [math] tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.

Sea [math] el ortocentro de [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Por un lema conocido, tenemos que [math] y [math]. Notemos que [math] y [math] son semejantes, por lo tanto [math]. Eso implica, multiplicando cruzado y reemplazando la información del lema, que [math]. Pero eso es precisamente [math]. Y estamos [math]
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Joacoini

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Re: Problema 1 APMO 2013

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 20 Feb, 2018 9:37 pm

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Vamos a probar que $△OAF$ y $△ODC$ tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.
$A(x)$ hace referencía al area de $x$
Llamamos $G$ a la altura desde $D$ a $\overline{CO}$ y $H$ a la altura desde $F$ a $\overline{AO}$
Nombramos $B\widehat{A}C=\alpha$ y $A\widehat{C}B=\gamma$ por lo tanto, $B\widehat{O}C=2\alpha$, $O\widehat{C}B=90-\alpha$, $G\widehat{D}C=\alpha$, $B\widehat{O}A=2\gamma$, $O\widehat{A}B=90-\gamma$, $H\widehat{F}A=\gamma$
Aplicando coseno en $△CAF$ obtenemos qué $\overline{AF}=Cos(\alpha)AC$ y aplicando coseno en $△OAF$ obtenemos qué $\overline{HF}=Cos(\gamma)AF=Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC$
Aplicando coseno en $△CAD$ obtenemos qué $\overline{CD}=Cos(\gamma)AC$ y aplicando coseno en $△OCD$ obtenemos qué $\overline{DG}=Cos(\alpha)CD=Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC$
Sean $\overline{OC}=\overline{OA}=r$, luego $A(△ODC)=\frac{OC\times DG}{2}=\frac{r\times Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC}{2}$ y $A(△OFA)=\frac{OA\times FH}{2}=\frac{r\times Cos(\gamma)Cos(\alpha)AC}{2}$ por lo tanto $A(△ODC)=A(△OAF)$
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 1 APMO 2013

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 04 Sep, 2018 2:56 pm

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Vamos a probar que $\triangle OAF$ y $\triangle ODC$ tienen igual área, de donde salen otras dos relaciones análogas y así sigue lo pedido.
Sean $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ el punto medio de $AB$. Como $H$ y $O$ son conjugados isogonales tenemos $\frac{OM}{ON}=\frac{HF}{HD}$, pero como $\angle HDC=90°=\angle HFA$ y $\angle AHF=\angle CHD$ por opuestos por el vértice, resulta $\triangle HFA\simeq \triangle HDC\Rightarrow \frac{HF}{HD}=\frac{AF}{CD}$. Por lo tanto $\frac{OM}{ON}=\frac{AF}{CD}\Rightarrow OM\cdot CD=ON\cdot AF\Rightarrow \frac{OM\cdot CD}{2}=\frac{ON\cdot AF}{2}\Rightarrow (ODC)=(OAF)$. Queda demostrado el problema.
[math]

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