Rioplatense 2007 - N2 P4

[Matías V5]

Sea [math]ABC un triángulo acutángulo, tal que [math]AB < AC. Se traza una circunferencia con diámetro [math]AC, y sobre ella un punto [math]P tal que [math]AP = AB y [math]P está en el semiplano determinado por [math]AC que no contiene a [math]B. [math]BP corta a la circunferencia nuevamente en [math]Q, y [math]AQ corta en [math]R a la recta perpendicular a [math]BC que pasa por [math]B. Demuestre que [math]BC y las bisectrices de los ángulos [math]\angle BRC y [math]\angle BAC son concurrentes.

[Gianni De Rico]

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Como $AC$ es diámetro tenemos $\angle APC=\angle AQC=90^\circ$, luego, $\angle RQC=90^\circ =\angle RBC$, por lo que $RBQC$ es cíclico, entonces $\angle BCR=\angle BQR=\angle PQA=\angle PCA$, juntando esto con $\angle RBC=90^\circ =\angle APC$ tenemos $\triangle RBC\simeq \triangle APC\Rightarrow \frac{RB}{RC}=\frac{AP}{AC}=\frac{AB}{AC}$. Sean $D$ y $D'$ en el segmento $BC$ tales que $AD$ es bisectriz de $\angle BAC$ y $RD'$ es bisectriz de $\angle BRC$, entonces por el Teorema de la Bisectriz tenemos $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{RB}{RC}=\frac{BD'}{D'C}$, por lo que $D=D'$. Entonces $BC$ y las bisectrices de $\angle BRC$ y $\angle BAC$ pasan por $D$, es decir que son concurrentes.