El triángulo [math]ABC es isósceles, con [math]AB = BC y [math]\angle ABC = 82^\circ. Se considera el punto [math]M en el interior del triángulo tal que [math]AM = AB y [math]\angle MAC = 11^\circ. Hallar la medida del ángulo [math]\angle MCB.
Como [math]\triangle ABC es isóceles y [math]\angle ABC=82^{\circ}, entonces [math]\angle CAB=\angle ACB=49^{\circ} de donde [math]\angle AMB=38^{\circ}. Luego al ser [math]\triangle AMB isóceles, [math]\angle ABM=\angle AMB=71^{\circ} de donde [math]\angle MBE=11^{\circ}. Entonces como [math]\angle DAE=\angle MBE=11^{\circ} y [math]\angle AMD=\angle BME (por ser opuestos por el vértice), resulta que [math]\triangle ADM\sim \triangle BME y que el cuadrilátero [math]ADEB es cíclico.
Al ser [math]ADEB cíclico, por arco capaz como [math]\angle ABE=82^{\circ}, [math]\angle ADE=98^{\circ}, de donde [math]\angle EDC=82^{\circ}. Análogamente como[math]\angle DAB=49^{\circ},[math]\angle DEB=131^{\circ}, de donde [math]\angle DEC=49^{\circ}, y como [math]\angle DCE= 49^{\circ} resulta que [math]\triangle DEC es isócles de donde[math]DC=DE.
También utilizando otra vez que [math]ADEB es cíclico, [math]\angle BAM=\angle MDE=38^{\circ}, y [math]\angle ABM=\angle DEA=71^{\circ}. Por suma de ángulos en [math]\triangle MDE resulta que [math]\angle DME= 71^{\circ}de donde el triángulo es isóceles, entonces [math]MD=DE=DC. De esta última igualdad surge que [math]\triangle MDC es isóceles, y como [math]\angle MDC=\angle MDE+\angle EDC=38^{\circ}+82^{\circ}=120^{\circ}, entonces [math]\angle DMC=\angle DCM=30^{\circ}.
Por último tenemos que [math]\angle DCM+\angle MCB=\angle ACB \Rightarrow 30^{\circ}+\angle MCB=49^{\circ} \Rightarrow \angle MCB= 19^{\circ}
Última edición por ktc123 el Mié 13 Feb, 2013 4:22 pm, editado 1 vez en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Primero, como [math]ABC es isosceles entonces [math]BAC=BCA=49. Luego, como [math]MAC=11, [math]BAM=38 y como [math]BMA es isosceles surge que [math]BMA=ABM=71 y como [math]ABC=82, entonces [math]CBM=11.
Pongamos ahora [math]MCB=a. Mirando los angulos del triangulo [math]BCM sale que [math]BMC=169-a. Luego como [math]MCB+MCA=49, sale que [math]MCA=49-a
Aplicando teorema del seno en [math]BMC sale que [math]\frac{MC}{\sin 11}=\frac{BC}{\sin (169-a)}. Aplicandolo en MAC queda [math]\frac{MC}{\sin 11}=\frac{AM}{\sin (49-a)}. Pero como [math]BC=AM, queda [math]\sin (169-a)=\sin (49-a). Obviamente estos angulos no pueden ser iguales asi que solamente pueden ser suplementarios, por lo tanto
Llamamos $D$ a la intersección de la recta $BM$ con $AC$, y $E$ a la intersección de la recta $AM$ con $BC$.
Por angulitos e isósceles llegamos a que $M\hat{B}C = 11°$. Luego, el cuadrilátero $ABDE$ es cíclico. Entonces $A\hat{E}D = 71°$. Como $\triangle{ABM}$ es isósceles, $B\hat{M}A = 71°$ y por opuestos por el vértice, $D\hat{M}E = 71°$. Nuevamente, por angulitos, $A\hat{E}B = 60$; $C\hat{E}D = 180°- 60°- 71°= 49°$. Por lo tanto, $\triangle{DEC}$ es isósceles. Ahora llamamos a $M\hat{C}B = \alpha$. Veamos a $D$ como el centro de una circunferencia de radio $DC$, por ángulo central, $2\alpha = 38° = E\hat{D}M$, $\alpha = 19°$.
Como $\overline{AB}=\overline{BC} \Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BCA}=49^{\circ} \Rightarrow \widehat{BAD}=38^{\circ}$
De donde, $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=71^{\circ}$. De esto, $\widehat{DBF}=11^{\circ}$.
Extendiendo $\overline{BD}$ de manera que toca $\overline{AC}$ en $E$ y extendiendo $\overline{AD}$ de forma que toca $\overline{BC}$ en $F$, nos resulta que $ADFE$ es ciclico. $\widehat{DEF}=38^{\circ}$ y $\widehat{DFE}=71^{\circ}$, $\widehat{EDF}=71^{\circ}$, de donde $\overline{DE}=\overline{EF}$.
Ademas, como $\widehat{EFC}=49^{\circ}$ y $\widehat{FCE}=49^{\circ}$, $\overline{EF}=\overline{EC}=\overline{DE}$.
Como $\widehat{BEA}=60^{\circ}$, $\widehat{ECD}=30^{\circ}$.
Por ende, $\widehat{DCB}=19^{\circ}$. $\blacksquare$
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