Selectivo de IMO 1999 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Javiermov
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Selectivo de IMO 1999 P2

Mensaje sin leer por Javiermov » Jue 17 Ene, 2013 2:28 pm

Se consideran cuatro circunferencias [math] tales que [math] y [math] son tangentes exteriores en [math], [math] y [math] son tangentes exteriores en [math], [math] Y [math] son tangentes exteriores en [math], [math] y [math] el son tangentes exteriores en [math] y además, las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. Se traza por [math] una tangente a [math] que toca a dicha circunferencia en [math] y se traza por [math] una tangente a [math] que toca a dicha circunferencia en [math]. Demostrar que [math].

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Prillo

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Re: Selectivo de IMO 1999 P2

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 17 Ene, 2013 7:23 pm

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El problema equivale a demostrar que [math] por la potencia de [math] respecto de [math] y [math], es decir a demostrar que el cuadrilátero [math] es cíclico. Sean [math] las tangentes comunes a [math]; [math]; [math] y [math] por [math] respectivamente, y consideremos puntos [math] sobre estas tangentes. tenemos que [math] y [math], de donde claramente [math], y el problema sigue.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IMO 1999 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 08 Jul, 2018 7:48 pm

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Sean $E$, $F$, $G$, $H$ los centros de $C_1$ ,$C_2$, $C_3$, $C_4$, respectivamente. Si ponemos $D\widehat EA=2\alpha$, $A\widehat FB=2\beta$, $B\widehat GC=2\gamma$, $C\widehat HD=2\delta$ tenemos $D\widehat AB=180°-E\widehat AD-F\widehat AB=180°-(90°-\alpha )-(90°-\beta )=\alpha +\beta$ y $B\widehat CD=180°-G\widehat CB-H\widehat CD=180°-(90°-\gamma )-90°-\delta )=\gamma +\delta$
Como $2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta =360°$ por ser la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero, resulta $D\widehat AB+B\widehat CD=\alpha +\beta +\gamma +\delta =180°\Rightarrow ABCD$ es cíclico.
Luego, por potencia de un punto $SP^2=SA\cdot SB=SC\cdot SD=SQ^2$. Por lo tanto $SP=SQ$
[math]

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