Centro/Norte/Pampero 2012 N3 P2

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Vladislao

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Centro/Norte/Pampero 2012 N3 P2

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 09 Dic, 2012 2:53 pm

Sean [math] y [math] puntos en los lados [math] y [math] del triángulo [math] respectivamente, tales que [math] y [math]. Sea [math] el punto simétrico de [math] respecto de [math]. Demostrar que [math] es la bisectriz del ángulo [math].
1  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Turko Arias

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Re: Centro/Norte/Pampero 2012 N3 P2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 09 Dic, 2012 10:43 pm

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Como reflejamos [math] por la recta [math] entonces [math] es perpendicular a [math] y [math] es un romboide con [math] y [math]. Como [math] y [math] entonces [math], de igual modo se llega a que [math]. Esto significa que hay una circunferencia de radio [math] con centro en [math] que pasa por [math], por [math] y por [math], a la que llamamos [math] y otra circunferencia de radio [math] con centro en [math] y que pasa por [math], por [math] y por [math], a la que llamamos [math]. Consideramos la cuerda [math] en [math], [math] es su ángulo central, lo definimos como [math], por lo tanto [math] ya que es el ángulo que esta sobre el arco de la cuerda [math] y es la mitad del ángulo central. Ahora bien, como [math] y [math] entonces [math]. Como [math] también es isósceles entonces [math] de donde [math], pero [math] es en ángulo central de la cuerda [math] en la circunferencia [math]. Ahora como [math] está sobre [math] el ángulo [math] mide la mitad de [math] por lo tanto [math] [math]

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Gianni De Rico

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Re: Centro/Norte/Pampero 2012 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 17 May, 2018 1:56 pm

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Sea $B\widehat AC=\alpha$, luego $AC=CK\Rightarrow C\widehat KA=C\widehat AK=\alpha\Rightarrow B\widehat KC=180°-\alpha$ y $AB=BL\Rightarrow B\widehat LA=B\widehat AL=\alpha \Rightarrow B\widehat LC=180°-\alpha$. Entonces $BKLC$ es cíclico. Por reflexión $B\widehat MC=B\widehat AC=\alpha\Rightarrow BKLCM$ es cíclico.
Por reflexión $ABMC$ es un romboide, luego $L\widehat CB=A\widehat CB=B\widehat CM$ y por arco capaz $B\widehat KM=B\widehat CM=L\widehat CB=\beta$, análogamente $C\widehat LM=K\widehat BC=\gamma$
Sean $D=KM\cap BC$ y $E=LM\cap BC$, luego $K\widehat DB=180°-\beta -\gamma =\alpha=L\widehat EC\Rightarrow M\widehat DE=M\widehat ED$, como $ABMC$ es un romboide entonces $AM\perp BC\parallel DE\Rightarrow AM$ es bisectriz de $D\widehat ME\Rightarrow AM$ es bisectriz de $K\widehat ML$
[math]

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