Nacional 2012 P3 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 06 Nov, 2012 10:57 pm

Sea [math] un triángulo con [math], [math]. Sean [math] en [math] tal que [math] es la bisectriz de [math] y [math] el punto medio de [math]. Si [math] y [math] se cortan en [math], calcular la razón [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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niicoc
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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por niicoc » Mié 07 Nov, 2012 3:16 pm

Me dió raiz de 0,5. Después subo la resolucion

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Caro - V3

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Dom 11 Nov, 2012 1:42 pm

Que Joel suba su solución! :D
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Joe.

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Joe. » Lun 12 Nov, 2012 10:26 pm

Caro - V3 escribió:Que Joel suba su solución! :D
Dedicada a vos :oops:

Bueno el dibujo es un paint bien turro, ya fue jajaja.
3n2.JPG
Primero calculamos el angulo [math], que es [math].
Luego trazamos la altura [math]. Vemos que [math] y [math].
Denotamos [math]. Luego [math] ya que [math] punto medio de [math].
[math] es un triángulo que es medio equilátero, ya que tiene ángulos [math] [math] [math], por lo que la hipotenusa mide el doble del cateto menor. Es decir, si [math], entonces [math].
Luego en el triángulo [math], [math] y [math], entonces [math].
Trazamos [math].
Por la propiedad de la mediana en un triángulo rectángulo, resulta [math].
En el triángulo [math], tenemos [math], por lo que [math].
En el triángulo [math], tenemos [math], por lo que [math] y como [math] mide [math], [math]. [math]

Ahora vemos que tenemos una semejanza entre los triángulos [math] (eh, me faltó el punto ese en el dibujo) y [math], ya que tienen [math] y [math].
Entonces
[math]

[math], por Pitagóras en [math], es [math].
[math] por lo que dijimos al principio.

Entonces [math].
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Imagen

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Ivan

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 03 May, 2013 8:00 pm

Es una solución un poco técnica, pero conociendo los teoremas es bastante directa.

Spoiler: mostrar
Llamemos [math] a la intersección de [math] con [math].

Notamos que si calculamos [math] podemos calcular [math]. La idea es usar el lema de Shmerkin: [math].

Como [math], lo único que tenemos que hacer es calcular [math].

Por el teorema de Ceva, [math] y entonces [math] (la última igualdad es el teorema de la bisectriz).

Como [math] y [math], por el teorema del seno tenemos [math].

Con lo que tenemos hasta ahora podemos calcular la razón pedida, lo único que hay que hacer es volver para atrás:

Tenemos [math]. Luego [math].

Finalmente [math].

Si uno quiere puede seguir simplificando la expresión: [math].

Entonces [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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julianferres_

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por julianferres_ » Mié 12 Feb, 2014 5:52 pm

El lema de Shmerkin es comunmente llamado Relación de Van Aubel...

http://rgrm.files.wordpress.com/2009/04 ... l-_ii_.pdf

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Vladislao

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 12 Feb, 2014 9:18 pm

Julian_Ferres escribió:El lema de Shmerkin es comunmente llamado Relación de Van Aubel...

http://rgrm.files.wordpress.com/2009/04 ... l-_ii_.pdf
Es un nombre. Yo por ejemplo le digo "El Teorema que usó Ivan para hacer el problema de Geometría de Nivel 2 en 2012".
2  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Sandy

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Re: Nacional 2012 P3 N2

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 09 Nov, 2019 6:01 am

Para @charo morencos que me dice que me critica por usar trigonometría
Spoiler: mostrar

Sea $P'$ al reflejo de $P$ por $M$.
Notemos que $AP'CP$ es un paralelogramo; esto pasa porque $M$ es a la vez punto medio de $AC$ y de $PP'$, luego los triángulos $APM$ y $MP'C$ son congruentes, entonces $MP'C=MPA$, luego $P'C$ y $AP$ son paralelas. Usando el mismo argumento llegamos a que también $PC$ y $AP'$ son paralelas.
Luego, por Thales tenemos que $\frac{LP}{CP'}=\frac{BP}{PP'}$
Sabiendo que $PP'=2PM$ y que, por ser $AP'CP$ paralelogramo, $CP'=AP$ tenemos que $\frac{LP}{AP}=\frac{BP}{2PM}$
Veamos ahora el triángulo $ABM$; por el Teorema de la bisectriz, $\frac{AB}{AM}=\frac{BP}{PM}$
Luego $\frac{AB}{\frac{1}{2}AC}=\frac{BP}{PM}$, lo que implica que $\frac{sin30^{o}}{sin45^o}=\frac{BP}{2PM}=\frac{2}{\sqrt{2}}$.
Pero teníamos que $\frac{LP}{AP}=\frac{BP}{2PM}$, luego $\frac{AP}{LP}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
1  

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