P3 N1 Nacional 2005

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Olímpico

OFO - Mención-OFO 2016
Mensajes: 185
Registrado: Sab 25 Ago, 2012 3:30 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por Olímpico »

Dado un segmento de longitud [math], construir con regla y compás un cuadrado en el que la diferencia entre las longitudes de la diagonal y el lado sea [math]. Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.
Olímpico

OFO - Mención-OFO 2016
Mensajes: 185
Registrado: Sab 25 Ago, 2012 3:30 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por Olímpico »

En todo cuadrado la diferencia entre su diagonal y su lado será [math], por lo que, según entiendo yo, ese podría ser el único valor de [math]. Entonces, ¿la construcción de cualquier cuadrado es válida?
Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1023
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por Ivan »

Te dan un segmento de longitud [math]. Tenés que construir un cuadrado de lado [math] tal que [math].

Escrito de otra forma, te piden que construyas un cuadrado de lado [math]. El cuadrado ese es único.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 609
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 17
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Que lindo problema! Que bueno que practiquen en Nivel 1 (soy un viejo nostalgico, perdon)
Spoiler: mostrar
Tomamos un cuadrado [math] de lado [math] y de diagonal [math], tal que [math]. Sea [math] en [math] tal que [math] y [math], sea [math] la intersección de [math] con [math]. Como [math] entonces los ángulos [math] y [math] son iguales, y como [math] tiene [math] entonces [math] y [math] son semejantes, entonces [math].
Ahora bien, tenemos nuestro segmento dado [math] que en nuestro cuadrado anterior va a representar a [math]. Trazamos por [math] una perpendicular y de ese ángulo recto trazamos la bisectriz que en principio va a ser la base de nuestro [math]. Sabemos trasladar un segmento, por lo tanto sobre nuestra recta bisectriz del ángulo recto trazamos, con vértice en [math] de nuevo a nuestro segmento [math] y me marca mi punto [math]. Ahora trazamos por [math] la perpendicular a [math] que está en el mismo semiplano que [math] respecto de [math] y trazamos [math] hasta que corte a nuestra perpendicular a [math]. Se cortan en [math]. Ahora trazamos la perpendicular a [math] que pasa por [math] que está en el mismo semiplano que [math] respecto de [math] y la prolongamos hasta que corte a la recta [math]. Este punto en el que se corta es [math]. Por último trazamos por [math] la perpendicular a [math] por [math] que está en el mismo semiplano que [math] respecto de [math] y la prolongamos hasta que corte a [math] en [math]. De esta manera queda construído nuestro cuadrado [math] pedido, y queda demostrado que la diferencia entre su diagonal y su lado es [math]. [math]
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Avatar de Usuario
Ulis7s

OFO - Mención-OFO 2024 FOFO 14 años - Mención-FOFO 14 años
Mensajes: 319
Registrado: Dom 07 May, 2023 1:13 pm
Medallas: 2
Nivel: 1
Ubicación: La Pampa

Re: P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por Ulis7s »

Que usar:
Spoiler: mostrar
Como trazar perpendiculares con regla no graduada y compás
Potencia de un punto respecto a una circunferencia
Pista $1$:
Spoiler: mostrar
Construí un segmento de longitud $(\sqrt{2}-1)d$
Pista $2$:
Spoiler: mostrar
Usa potencia de un punto respecto a la circunferencia y construí un segmento de longitud $l=\frac{d}{\sqrt{2}-1}$ que como dijo Iván es la longitud del lado del cuadrado
Solución:
Spoiler: mostrar
Hace un triángulo isósceles rectángulo de catetos $d$ luego la hipotenusa es $\sqrt{2}d$ luego con compás marcar un punto para hacer un segmento de longitud $d$ luego el que queda va a ser su diferencia o sea $(\sqrt{2}-1)d$. Luego tomemos una circunferencia de centro $O$ sea $A$ un punto en la circunferencia, trazamos la perpendicular a $AO$ por $A$ luego esa va a ser la tangente a la circunferencia. Digamos que un arco de centro $A$ radio $d$ corta a la tangente en $B$, y por ese punto $B$ marcamos un arco de longitud $(\sqrt{2}-1)d$ que corta a la circunferencia en $C$ digamos $BC$ corta a la circunferencia en $D$ luego $BD= l=\frac{d}{\sqrt{2}-1}$ listo calisto, haces un cuadrado de lado $l$ y problema resuelto
Amante de geometría 8-) @ulisess.kr
AgusSado
Mensajes: 2
Registrado: Mar 31 Oct, 2023 7:12 pm
Nivel: 1

Re: P3 N1 Nacional 2005

Mensaje sin leer por AgusSado »

Spoiler: mostrar
Observemos el cuadrado que queremos construir llamándolo $ABCD$, trazando la diagonal $AC$ y marcando $P$ sobre ella tal que $AP=AB$ y por lo tanto, $CP=d$. Notemos que las diagonales de los cuadrados forman ángulos de $45^{\circ}$ con los vértices por lo cual el triángulo isósceles $ABP$ tendrá el el ángulo $B\hat{A}P=45^{\circ}$ y como los otros dos ángulos $A\hat{B}P$ y $A\hat{P}B$ son iguales serán de $\frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2}=\frac{135^{\circ}}{2}$. Como forman un segmento, $C\hat{P}B=180^{\circ}-A\hat{P}B=\frac{225^{\circ}}{2}$.

Para sacar la mediatriz de un segmento $AB$ se trazan las circunferencias de radio $AB$ de centro $A$ y $B$ respectivamente y se unen sus intersecciones. Para sacar bisectrices de ángulos primero se marca un punto cualquiera en uno de los segmentos/rectas que lo forman y con el compás se busca el punto que esté a la misma distancia del origen del ángulo en el otro segmento/recta para luego buscar la mediatriz del segmento entre estos puntos que será la bisectriz del ángulo. Notemos que sacando bisectrices podemos llegar a cualquier ángulo de la forma $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ con $n$ natural a partir de un punto en una recta. Además podemos sumar estos ángulos para conseguir otros.

Ahora empecemos el dibujo partiendo del segmento $d$. En alguno de los extremos, trazamos la recta perpendicular a $d$ con el compás y luego trazamos las bisectrices de los ángulos formados obteniendo un ángulo de 90° tal que $d$ es el inicio de su bisectriz. En el otro extremo de $d$, sacando bisectrices, podemos llegar a semirrectas que formen un ángulo $\frac{225^{\circ}}{2}$ con $d$ porque es $\frac{5}{8}\times180^{\circ}=5\times\frac{180^{\circ}}{8}$ y $8$ es $2^3$. Las intersecciones de estas rectas con las que sacamos del otro extremo de $d$ serán los vértices opuestos del cuadrado y el primer extremo de $d$ que usamos será otro de los vértices. Para sacar el último solamente hay que hacer perpendiculares por los vértices opuestos y marcar su intersección. Así conseguiríamos el cuadrado pedido.
Responder