Dado un segmento de longitud [math]d, construir con regla y compás un cuadrado en el que la diferencia entre las longitudes de la diagonal y el lado sea [math]d. Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.
En todo cuadrado la diferencia entre su diagonal y su lado será [math]\sqrt{2}l -l, por lo que, según entiendo yo, ese podría ser el único valor de [math]d. Entonces, ¿la construcción de cualquier cuadrado es válida?
Tomamos un cuadrado [math]ABCD de lado [math]L y de diagonal [math]D, tal que [math]D-L=d. Sea [math]P en [math]BD tal que [math]BP=d y [math]PD=L, sea [math]Q la intersección de [math]AP con [math]BC. Como [math]AD=DP entonces los ángulos [math]APD y [math]DAP son iguales, y como [math]BQP tiene [math]BQ//AD entonces [math]APD y [math]BPQ son semejantes, entonces [math]BQ=BP.
Ahora bien, tenemos nuestro segmento dado [math]d que en nuestro cuadrado anterior va a representar a [math]BP. Trazamos por [math]B una perpendicular y de ese ángulo recto trazamos la bisectriz que en principio va a ser la base de nuestro [math]BC. Sabemos trasladar un segmento, por lo tanto sobre nuestra recta bisectriz del ángulo recto trazamos, con vértice en [math]B de nuevo a nuestro segmento [math]d y me marca mi punto [math]Q. Ahora trazamos por [math]B la perpendicular a [math]BQ que está en el mismo semiplano que [math]P respecto de [math]BQ y trazamos [math]PQ hasta que corte a nuestra perpendicular a [math]BQ. Se cortan en [math]A. Ahora trazamos la perpendicular a [math]AB que pasa por [math]A que está en el mismo semiplano que [math]P respecto de [math]AB y la prolongamos hasta que corte a la recta [math]BP. Este punto en el que se corta es [math]D. Por último trazamos por [math]D la perpendicular a [math]AD por [math]D que está en el mismo semiplano que [math]P respecto de [math]AD y la prolongamos hasta que corte a [math]BQ en [math]C. De esta manera queda construído nuestro cuadrado [math]ABCD pedido, y queda demostrado que la diferencia entre su diagonal y su lado es [math]d. [math]\blacksquare
Usa potencia de un punto respecto a la circunferencia y construí un segmento de longitud $l=\frac{d}{\sqrt{2}-1}$ que como dijo Iván es la longitud del lado del cuadrado
Hace un triángulo isósceles rectángulo de catetos $d$ luego la hipotenusa es $\sqrt{2}d$ luego con compás marcar un punto para hacer un segmento de longitud $d$ luego el que queda va a ser su diferencia o sea $(\sqrt{2}-1)d$. Luego tomemos una circunferencia de centro $O$ sea $A$ un punto en la circunferencia, trazamos la perpendicular a $AO$ por $A$ luego esa va a ser la tangente a la circunferencia. Digamos que un arco de centro $A$ radio $d$ corta a la tangente en $B$, y por ese punto $B$ marcamos un arco de longitud $(\sqrt{2}-1)d$ que corta a la circunferencia en $C$ digamos $BC$ corta a la circunferencia en $D$ luego $BD= l=\frac{d}{\sqrt{2}-1}$ listo calisto, haces un cuadrado de lado $l$ y problema resuelto
Observemos el cuadrado que queremos construir llamándolo $ABCD$, trazando la diagonal $AC$ y marcando $P$ sobre ella tal que $AP=AB$ y por lo tanto, $CP=d$. Notemos que las diagonales de los cuadrados forman ángulos de $45^{\circ}$ con los vértices por lo cual el triángulo isósceles $ABP$ tendrá el el ángulo $B\hat{A}P=45^{\circ}$ y como los otros dos ángulos $A\hat{B}P$ y $A\hat{P}B$ son iguales serán de $\frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2}=\frac{135^{\circ}}{2}$. Como forman un segmento, $C\hat{P}B=180^{\circ}-A\hat{P}B=\frac{225^{\circ}}{2}$.
Para sacar la mediatriz de un segmento $AB$ se trazan las circunferencias de radio $AB$ de centro $A$ y $B$ respectivamente y se unen sus intersecciones. Para sacar bisectrices de ángulos primero se marca un punto cualquiera en uno de los segmentos/rectas que lo forman y con el compás se busca el punto que esté a la misma distancia del origen del ángulo en el otro segmento/recta para luego buscar la mediatriz del segmento entre estos puntos que será la bisectriz del ángulo. Notemos que sacando bisectrices podemos llegar a cualquier ángulo de la forma $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ con $n$ natural a partir de un punto en una recta. Además podemos sumar estos ángulos para conseguir otros.
Ahora empecemos el dibujo partiendo del segmento $d$. En alguno de los extremos, trazamos la recta perpendicular a $d$ con el compás y luego trazamos las bisectrices de los ángulos formados obteniendo un ángulo de 90° tal que $d$ es el inicio de su bisectriz. En el otro extremo de $d$, sacando bisectrices, podemos llegar a semirrectas que formen un ángulo $\frac{225^{\circ}}{2}$ con $d$ porque es $\frac{5}{8}\times180^{\circ}=5\times\frac{180^{\circ}}{8}$ y $8$ es $2^3$. Las intersecciones de estas rectas con las que sacamos del otro extremo de $d$ serán los vértices opuestos del cuadrado y el primer extremo de $d$ que usamos será otro de los vértices. Para sacar el último solamente hay que hacer perpendiculares por los vértices opuestos y marcar su intersección. Así conseguiríamos el cuadrado pedido.