Nacional 2006 N1 P5

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tuvie

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Re: Nacional 2006 N1 P5

Mensaje sin leer por tuvie »

Tenes razon :P

Fiebre

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Re: Nacional 2006 N1 P5

Mensaje sin leer por Fiebre »

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Sea $F$ en $AB$ tal que $CA=CF$, luego $F$ esta entre $A$ y $Q$.

Vemos que como $BA=BC$ entonces el triángulo $ABC$ es isósceles y por Suma de Ángulos Interiores (SAI) en $ABC$ tenemos que $\angle BAC=\angle BCA=80°$, como $\angle BAC=\angle BAP+\angle CAP=\angle BAP+50°=80°$, entoces $\angle BAP=30°$. De la misma forma, como $\angle BCA=\angle BCQ+\angle ACQ=\angle BCQ+60°=80°$, tenemos que $\angle BCQ=20°$.

Después por SAI en $ACP$, como $\angle PAC=50°$ y $\angle PCA=80°$, tenemos que $\angle APC=50°$, luego $ACP$ es isósceles y $CA=CP$.

Como $CA=CF$ y $\angle CAF=80°$, entonces por SAI en el triángulo isósceles $ACF$ tenemos que $\angle AFC=80°$ y $\angle ACF=20°$, luego como $\angle ACQ=\angle QCF+\angle ACF=\angle QCF+20°=60°$, tenemos que $\angle QCF=40°$.

Notemos que $CF=CP$ y que $\angle FCP=60°$, luego el triángulo $CFP$ es un triángulo isósceles con un ángulo de $60°$, entonces por SAI es equilátero, $\angle CFP=\angle CPF=\angle FCP=60°$ y $CF=CP=FP$. Como $\angle FPC=\angle FPA+\angle CPA=\angle FPA+50°=60°$, llegamos a que $\angle FPA=10°$.

Por ángulo llano, $\angle AFB=\angle AFP+\angle BFP=140°+\angle BFP=180°$, por lo tanto $\angle BFP=40°$, luego por SAI en $CFQ$, sabiendo que $\angle CFQ=100°$ y $\angle FCQ=40°$ tenemos que $\angle CQF=40°$, por lo tanto el triángulo $CFQ$ es isósceles y $FC=FQ$.

Finalmente el triángulo $FPQ$ es isósceles ya que $FP=FQ$, y como $\angle PFQ=40°$, por SAI tenemos que $\angle FPQ=\angle FQP=70°$. Por último, $\angle APQ=\angle APF+\angle FPQ=10°+70°=80°$, lo que queríamos encontrar.
Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza

irinacaramuti06
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Re: Nacional 2006 N1 P5

Mensaje sin leer por irinacaramuti06 »

Por favor, ¿Podrías explicarme de donde salió el punto F?. No lo encuentro en la consigna. En caso de que sea un agregado ¿Podrías explicarme que razonaste para ubicarlo? ¿Cómo sabés que cuando agregás el punto F con un ángulo de 60°, CF va a ser igual que CP? Muchas gracias :D
Irina

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