P1 N3 Regional 1996

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crimeeee
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P1 N3 Regional 1996

Mensaje sin leer por crimeeee » Mar 11 Sep, 2012 6:00 pm

En el triángulo [math], [math], [math] y [math] es el punto medio del lado [math]. Sea [math] en el lado [math] tal que el cuadrilátero [math] y el triángulo [math] tienen igual perímetro. Hallar [math]
Última edición por crimeeee el Mar 11 Sep, 2012 9:20 pm, editado 1 vez en total.

bruno
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Re: P1 N1 Regional 1996

Mensaje sin leer por bruno » Mar 11 Sep, 2012 7:16 pm

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Primero saco que [math]. De la condicion que el cuadrilátero [math] y el triángulo [math] tienen igual perímetro y [math] sale que [math]. Luego prolongo la semirrecta [math] hasta el punto [math] de forma que [math].
Ahora como [math] y el triangulo [math] es isosceles sale que [math]. Luego [math] es el punto medio de [math] por lo tanto [math] es la base media del triangulo [math] y es paralela a [math] y entonces [math] y luego sale que [math]
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Gianni De Rico

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Re: P1 N3 Regional 1996

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 10 Jun, 2017 10:25 pm

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Última edición por Gianni De Rico el Jue 05 Jul, 2018 9:37 pm, editado 1 vez en total.
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Gianni De Rico

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Re: P1 N3 Regional 1996

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 05 Sep, 2017 12:11 pm

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Prolongando [math] y [math] hasta que se corten en [math] es claro que el [math] será isósceles en [math], como [math], entonces [math]. Por opuestos por el vértice [math].
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Peznerd
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Re: P1 N3 Regional 1996

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 08 Nov, 2019 10:46 pm

Gianni De Rico escribió:
Mar 05 Sep, 2017 12:11 pm
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Prolongando $AB$ y $MP$ hasta que se corten en $D$ es claro que el $\triangle DAP$ será isósceles en $A$, como $D\widehat AP=180°-65°$, entonces $A\widehat PD=\frac{65°}{2}=32°30'$. Por opuestos por el vértice $M\widehat PC=A\widehat PD=32°30'$.
No tengo para nada claro que sean isóceles.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Peznerd
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Re: P1 N3 Regional 1996

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 08 Nov, 2019 10:54 pm

Solución (no muy bonita):
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Sin pérdida de generalidad, le asigné arbitrariamente el valor $1$ a $BC$ (ya que el resto de los segmentos no tienen un valor conocido, y sin embargo son siempre proporcionales a éste). Es claro que $CM = AM = 0,5$ y $CP = AB + AP = AC - AP$. Usando los Teoremas del Seno y del Coseno, salen fácilmente todos los segmentos del triángulo $CPM$ y por último $\angle CPM=32,5°$.
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