Nacional 2001 N2 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por ktc123 » Dom 26 Ago, 2012 3:54 pm

Sea [math] un trapecio de bases [math] y [math], y lados no paralelos [math] y [math], tal que [math], [math] y [math]. Se sabe además que la bisectriz del ángulo [math] corta a la bisectriz del ángulo [math] en un punto [math] del lado [math]. Calcular las medidas de los lados [math] y [math]
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

ktc123

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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por ktc123 » Dom 26 Ago, 2012 5:00 pm

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Imagen

Por definición [math] es un trapecio rectángulo donde sus ángulos son [math] y [math]

Como la suma de los ángulos internos de [math] es [math], entonces
[math]
Sabiendo eso, en el triángulo [math], como [math]
También concluyo que todos los triángulos [math] son rectángulos y similares (tienen los lados proporcionales)

Sea [math], punto en [math], y sea [math], punto en [math], puntos medios de sus respectivos lados y [math], prolongación de [math] en [math]. Entonces: [math]

Como [math], [math] es base media de [math]
[math]

Si sumo [math](suponiendo que el lado [math]), el resultado es igual al resulatado del segmento [math] como mediana del trapecio [math]

[math], es decir que [math] es la mediana del trapecio y por ende [math] tiene que ser punto medio de [math]. Por lo tanto, [math]

[math]

[math]

En el triángulo [math]
[math]
En el triángulo [math]
[math]
En el triángulo [math]
[math]

Concluyendo [math] y [math]
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 27 Ago, 2012 4:23 pm

Fijate que está mal lo que decís para afirmar que P es el punto medio de DA. Primero suponés que PF=24, pero al suponer eso, estás suponiendo que justamente es punto medio de DA.
[math]

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Ivan

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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 27 Ago, 2012 5:00 pm

ktc123 escribió: Si sumo [math](suponiendo que el lado [math]), el resultado es igual al resulatado del segmento [math] como mediana del trapecio [math]

[math], es decir que [math] es la mediana del trapecio y por ende [math] tiene que ser punto medio de [math]. Por lo tanto, [math]
Es cierto, estás usando lo que querés demostrar en la demostración.

De todos modos se puede probar que [math] es el punto medio de [math] y el resto de la solución sigue valiendo.

Escribo una forma de probar eso:
Spoiler: mostrar
Tenemos que [math], entonces el cuadrilátero [math] es cíclico (hay una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices).

Cómo [math] tenemos que las cuerdas [math] y [math] son iguales, o sea [math].

De acá se sigue que [math] y [math] son congruentes y [math] es punto medio de [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Nacho

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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 27 Ago, 2012 5:11 pm

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Ya que tenemos figura, vamos a usar la misma notación. Voy a marcar dos puntos más: [math] e [math]. Notemos que, como vio antes ktc123, [math]. Entonces, [math] es bisectriz y altura de [math], de donde es isósceles. Razonando así, vemos que [math] es un rombo. Vamos a nomenclar un poco los lados: [math], [math] y [math]. Entonces, [math]. Como [math] es la intersección de las diagonales, [math]. Y notemos que [math], por paralelas. Por definición de coseno en [math], tenemos que [math]. Notemos en [math] que [math]. Combinando estas dos relaciones, [math] y así [math]. Ahora, hagamos lo mismo de la defición del coseno pero en [math]: [math]. Entonces, [math]. Ahora, hacemos lo mismo pero con [math] pero en [math] y [math], nos queda [math]. Con Pitágoras sacamos [math]. Análogamente, [math]. Y así [math].

Finalmente, la respuesta es [math] y [math].
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 27 Ago, 2012 6:37 pm

Otra forma de justificarlo, sin usar cíclicos explícitamente.
Spoiler: mostrar
Marcás F y G igual que lo hiciste vos, pero sin suponer que son puntos medios. Lo únicoq ue sabés es que P, F y G están alineados y esa recta es paralela a AB. Luego el ángulo ABP (que vos pusiste alpha) es igual al ángulo BPG.

Entonces el triángulo PGB es isósceles con PG=BG.

Lo mismo hacés con el ángulo CPG y el ángulo PCD, luego CG=PG.

De las dos igualdades sacás que G es punto medio de BC, o sea P es punto medio de AD.
[math]

ilu29
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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por ilu29 » Vie 31 Ago, 2012 3:43 pm

Otra cosa que podemos usar para sacar bc es escribir un punto j sobre bc tal que el angulo cpj sea igual a "a" y bpj sea igual a "b".
ahora vemos que abp=bjp y dcp=cpj, entonces ab=bj=54 y dc=cj=28. Entonces cj+jb= 54 +28 =78= bc.
despues sacamos ad con pitagoras.

(perdon por no escribir en latex)

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Hechicero

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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Hechicero » Mar 05 Nov, 2013 7:23 pm

Bueno mi solucion: [math] [math] [math], [math] [math] [math]
Imagen

Lo primero que realizo es extender las birectrices hasta que se corten con las rectas [math] y [math]. Lo llamo [math] y [math] respectivamente. Luego [math] [math] [math].

Marco ángulos alternos internos y vemos que [math] y [math] son triángulos isósceles. Entonces [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]. Luego si trazo [math] vemos que [math] es un rombo, y ademas sus diagonales se interceptan perpendicularmente. Por teoría, sabemos que las diagonales se cortan en su punto medio, y por Thales, vemos que [math] [math] [math], luego de semejanza en triangulitos [math]
Entonces [math].

Luego trazo la perpendicular a [math] que pasa por el punto [math]. Entonces tenemos que [math] es un rectángulo con [math]. y [math].

Luego vemos que [math], y por Pitágoras tenemos que
[math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.

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Marco V
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Re: Nacional 2001 N2 P5

Mensaje sin leer por Marco V » Mié 11 Oct, 2017 5:41 pm

Sin trazos auxiliares
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Sea [math] y [math] y [math]

Viendo el triángulo [math], [math]

Luego, [math], [math] y [math] son semejantes:

[math]

[math] (1)

[math]

[math] (2)

Con Pitágoras en [math] usando (1) y (2):

[math]

[math]

Reemplazando esto último en (1) y (2): [math] y [math]

Por Pitágoras en [math] y [math] sale fácilmente que [math], ergo [math]

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