Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Nacho

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Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 22 Jul, 2012 6:57 pm

En los vértices de un polígono regular de [math] lados se escribieron los números enteros del [math] al [math], sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido de las agujas del reloj.

La operación permitida consiste en borrar los tres números de tres vértices, [math], a elección, y reemplazarlos, respectivamente, por [math].

Demostrar que usando repetidas veces operaciones permitidas es posible lograr que los números asignados a los vértices sean los enteros del [math] al [math], sin repetir, ordenados en forma creciente en el sentido contrario al de las agujas del reloj

ACLARACIÓN: En cada operación, los vértices elegidos no son necesariamente consecutivos ni están necesariamente ordenados. Por ejemplo, en la primera operación se podría reemplazar [math] por [math], respectivamente.
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amcandio

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Re: Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por amcandio » Dom 22 Jul, 2012 7:29 pm

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Si tenemos [math], [math] y [math], y aplicamos la operacion una vez, llegamos a [math]. Pero si la aplicamos dos veces mas, entonces volvemos a los numeros [math]. Luego, la operacion es reversible. En otras palabras, si podemos llegar desde la configuracion [math] a la configuracion [math], entonces podemos llegar desde la configuracion [math] a la configuracion [math].

Supongamos que tenemos una configuracion cualquiera de los numeros [math], es claro que podemos llevar a todos [math], y a un numero que no sea [math], pues en cada operacion a un numero le resta a un numero [math], se le suma a otro [math], y al tercero lo deja como esta. Entonces le sumas siempre al mismo y restas a los que todavia no son cero...

Bien, entonces como es reversible y desde cualquier configuracion se puede llegar a todos 0, podemos llegar de cualqueir configuracion a cualquier otra. FIN.

Nota: se dieron cuenta que el numero no importa? No se porque habran elegido el 31, por que no 32 por ejemplo...Floricia bardera xD
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MateoCV

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Re: Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 13 Jun, 2016 7:36 pm

amcandio escribió:
Spoiler: mostrar
es claro que podemos llevar a todos [math]
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No se puede llevar a todos 0 porque la suma total permanece invariante en cada operación. No se si te referías a eso o entendí mal
$2^{82589933}-1$ es primo

tuvie

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Re: Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 13 Jun, 2016 8:26 pm

MateoCV escribió:
amcandio escribió:
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es claro que podemos llevar a todos [math]
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No se puede llevar a todos 0 porque la suma total permanece invariante en cada operación. No se si te referías a eso o entendí mal
Ahi no termina la oracion, termina de leerla :)

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MateoCV

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Re: Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 13 Jun, 2016 8:53 pm

tuvie escribió:
MateoCV escribió:
amcandio escribió:
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es claro que podemos llevar a todos [math]
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No se puede llevar a todos 0 porque la suma total permanece invariante en cada operación. No se si te referías a eso o entendí mal
Ahi no termina la oracion, termina de leerla :)
Tenés razón, no la habia entendido bien jaja
$2^{82589933}-1$ es primo

Fran B
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Re: Problema 1 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por Fran B » Sab 03 Ago, 2019 7:17 pm

Spoiler: mostrar
Aplicamos la operación a $X, 16, 32-X$ para todo $X\leq 15$, y queda $32-X, X-\frac{1}{10}, 16+\frac{1}{10}$. Reordenamos eso como $16+\frac{1}{10}, X-\frac{1}{10}, 32-X$ y le aplilcamos la operación, así que tenemos $32-X, 16, X$. Entonces, el $1$ se cambia de lugar con el $31$, el $2$ lo hace con el $30$, el $3$ con el $29$,$...$, y el $16$ se mantiene en el medio. Finalmente se tiene $31,30,...,1$.

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