Sobre la mesa hay $100$ tarjetas que tienen escritos los números enteros de $1$ a $100$ (un número en cada tarjeta). Ana y Beto toman de la mesa la misma cantidad de tarjetas de modo que se cumpla la siguiente condición: si Ana tiene la tarjeta con un número $n$ entonces Beto tiene la tarjeta con el número $2n+2$. Determinar el máximo número de tarjetas que pueden tener, en conjunto, los dos amigos.
Primero veo qué números puede tener cada uno.
A={x/x<50}
B={x/x>2^x≡0(2)}
Entonces hay 25 números que nadie los puede tener (los impares mayores a 50).
Además tengo estas nueve secuencias:
2;6;14;30;62
3;8;18;38;78
11;24;50
13;28;58
15;32;66
17;36;74
19;40;82
21;44;90
23;48;98
Si Ana tiene uno de esos, Beto tiene otro, y en la misma cantidad (dentro de cada secuencia). Como tienen una cantidad impar de elementos cada secuencia, sobrará al menos un elemento por secuencia, entonces, en total, habrán 34 números sin usar, entonces quedan 66, 33 para cada uno. Para encontrar el ejemplo, se pueden anotar todos los pares mayores que dos y menores que 50, que son los números que pueden tener ambos. A Ana se le dan todos los impares menores que 50, el 2, se tachan los números correspondientes a los de Ana. Los que quedan se los agrupa por secuencia, y dentro de cada secuencia se le dan el primero, tercero, quinto,... a Ana, y los otros quedan para Beto. Ese ejemplo usa 66 tarjetas entre los dos.
Veamos que Beto siempre agarra los números pares. Entonces le podemos dar a Ana todos los impares menores que 50 (Si son mayores Beto tendría que agarrar números mayores que 100, absurdo)
Hasta ahora tenemos que cada uno tiene 25 números, pero notemos que Beto agarra los números múltiplos de 4 ya que la operación que hacemos es 2(n+1) si n es impar, n+1 es par, por lo que 2(n+1) tiene que ser múltiplo de 4.
Ahora lo que vamos a hacer es hacer una listita con los múltiplos de 2 pero no de 4.
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46. (El 50 no lo consideramos porque Beto no puede agarrar mayores que 100, y además cada uno debe tener la misma cantidad de cartas)
De acá veamos que si agarramos el 2 no podemos agarrar el 6, si agarramos el 10 no podemos agarrar el 22, si 14 no 30, si 18 no 38.
Es decir que de todos los números que había nos quedamos con los números:
2, 10, 14, 18, 26, 34, 42, 46.
En total son 8 y cada uno se corresponde con 8 de Beto por lo que en conjunto tenemos 16 números.
Si juntamos estos 16 mas los 50 del principio tenemos 66 números en total.