Selectivo Ibero 2021 - Problema 1

[EmRuzak]

En un tablero de ajedrez de $n\times n$, con $n\geq 2$, un rey puede hacer dos tipos de movimientos: en el tipo $A$ se mueve a una casilla vecina con la que tiene un lado común; en el tipo $B$ se mueve a una casilla vecina en diagonal, con la que tiene un vértice común.
Hallar todos los valores de $n$ para los que es posible colocar al rey en alguna casilla del tablero y a continuación realizar alternadamente movimientos de tipo $A$ y de tipo $B$, comenzando por uno de tipo $B$, de modo que el rey recorra todas las casillas del tablero pasando exactamente una vez por cada una.

[EmRuzak]

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Si $n$ es impar:
Por cada casilla donde pasa el rey hay exactamente una en diagonal que es por donde llegó o por donde se fue, ya que los movimientos de tipo A y B se alternan.

Entonces, como se empieza con uno de tipo B, el camino se puede dividir en diagonales de $2$ casillas, y $1$ al final además, si pintamos el tablero como un tablero de ajedrez, se puede ver que al salir de la diagonal, se cambia a una casilla de distinto color.

Entonces si $n=2a+1$, hay $4a^2+4a+1$ casillas en total, $2a^2+2a$ negras y $2a^2+2a+1$ blancas, y $a^2+a$ diagonales de $2$ negras, y hay
$2a^2+2a$ diagonales de $2$ blancas.

Las casillas blancas de tipo $1$ son las que estan en filas pares y las de tipo $2$ en filas impares.

Pero hay $(n+1)^2$ de tipo $1$ y $(a-1)^2$ de tipo $2$, por lo que como cada diagonal tiene una de cada tipo, hay como máximo $(a-1)^2=a^2-2a+1$
diagonales.

$a^2-2a+1\geq{a^2+a}$
$a=0$
$n=1$, contradicción

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Si $n$ es par se puede:

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