Entrenamiento IMO 2021 - Simulacro - Problema 9

[Tomás Morcos Porras]

En una fiesta clandestina estuvieron presentes $2021$ personas. Decimos que un conjunto de $k ≥ 3$ personas es un ciclo puro si se las puede nombrar $P_1, P_2, . . . , P_k$ de forma tal que $P_i$ bailó con $P_{i+1}$ para todo $1 ≤ i < k$, y $P_k$ bailó con $P_1$, pero no hay ningún otro par de personas del conjunto que hayan bailado durante la fiesta.
Supongamos que para toda persona $P$ y todo ciclo puro que no contenga a $P$ se cumple que $P$ bailó con a lo sumo una de las personas que componen el ciclo. Demostrar que es posible distribuir a las $2021$ personas en tres habitaciones con la condición de que si dos personas bailaron durante la fiesta entonces deben estar en habitaciones distintas.