Sea $n\geq 3$ un entero. Lucas y Matías juegan a un juego en un polígono regular de $n$ lados con un vértice marcado como trampa. Inicialmente Matías ubica una ficha en un vértice del polígono. En cada paso, Lucas dice un entero positivo y Matías mueve la ficha ese número de vértices en sentido horario o en sentido antihorario, a su elección.
a) Determinar todos los $n\geq 3$ tales que Matías puede ubicar la ficha y moverla de modo de no caer nunca en la trampa, independientemente de los números que diga Lucas. Dar la estrategia para Matías.
b) Determinar todos los $n\geq 3$ tales que Lucas puede obligar a Matías a caer en la trampa. Dar la estrategia para Lucas.
Nota. Los dos jugadores conocen el valor de $n$ y ven el polígono.
La primera persona es Lucas. Numeramos los vértices del $0$ al $n-1$, con el vértice trampa en el $0$, en sentido horario. Por comodidad, vamos a ver todo módulo $n$, es decir que siempre digo un número entre $1$ y $n-1$ inclusive (ya que si digo $n$ no se mueve la ficha y no cambia).
Sea $n=2^ab$, con $b$ impar mayor que $1$ (en otras palabras, $n$ no es potencia de $2$).
Notemos que si $k\equiv -k (b)\Longleftrightarrow 2k\equiv 0(b) \Longleftrightarrow k\equiv 0(b)$. Es decir, para cualquier número que diga yo no múltiplo de $b$, Mati va a poder elegir entre dos opciones de congruencia módulo $b$ para que quede la ficha. Así que, si elige un vértice no múltiplo de $b$ para arrancar, siempre que yo diga un número o bien se mantiene su congruencia anterior o bien puede evitar los $0$ mód $b$, evitando así siempre el vértice trampa.
Sea $n=2^k$. Mi estrategia consiste en decir el número de la casilla $M$ en la que esté Mati. Así, para evitar el vértice trampa, va a ir en sentido horario, por lo que caerá en $2M$. Pero al ser $v_2(2M)=v_2(2)+v_2(M)=1+v_2(M)>v_2(M)$, la valuación de $2$ se va haciendo arbitrariamente grande, por lo que eventualmente caerá en el $0$, pues es el único número con valuación de $2$ infinita.
Supongamos que Mati está en el vértice $0$, el vértice final es $n-1$ y la trampa está en $X$. Mati se ve forzado a caer en la trampa si el número $p$ que dice Lucas satisface ser:
$p \equiv X \equiv -X \; (n)$
(En el primer caso damos $p$ pasos hacia delante cayendo en $X$ y en el segundo vamos hacia atrás cayendo en $X$)
$2X \equiv 0 \; (n)$
Pero como $n$ es impar: $X \equiv 0 \; (n)$
Por lo que $p$ es múltiplo de $n$ y Mati da giros completos cayendo en el mismo lugar donde empezó (no la trampa).
De esta forma al menos uno de los movimientos de Mati le permite seguir jugando y así se asegura jugar infinitamente. Donde su única estrategia es solamente no caer en la trampa al final de cada movimiento.
Si la trampa está en $1$, Lucas dice $1$ y Mati para no caer tiene que ir a $3$, de ahí Lucas dice $2$ y Mati cae en la trampa de todas formas.
Si la trampa está en $3$ Lucas dice $1$, Mati debe ir a $1$ y de ahí diciendo $2$ Lucas vuelve a ganar.
Si la trampa está en $2$ Lucas dice $2$ y también gana.
Concluimos que Lucas gana siempre.
Quien tenga estrategia ganadora para $n$ la tiene para $2n$:
Como $2n$ es par podemos emparejar a ciertos puntos con su par diametralmente opuesto. Veamos que el par de la trampa puede también ser considerado una trampa ya que si Lucas dice $n$ cuando Mati está ahí, gana. De esta forma Mati también tiene su par que lo sigue durante todo el juego al que llamaremos “Mati espejado”.
Ahora trazamos $n$ segmentos paralelos entre sí y a algún lado del polígono que unan a $2$ vértices y cortamos a la figura por la perpendicular a estos.
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(Los segmentos rojos son esos segmentos dichos, la azul es la línea de corte y los violetas son cada pareja diametralmente opuesta).
De esta forma nos quedamos con $2$ líneas de $n$ vértices. Notemos primero que siempre hay algún Mati y trampa de cada lado y además cada uno de los “juegos” tiene las posiciones invertidas con respecto al otro. (El principio de cierta línea está emparejada con el final de la otra y así con todos mientras vamos avanzando de par).
Ahora llamamos Mati $IZQ$ a aquel Mati que permanece siempre del lado izquierdo y Mati $DER$ al de la derecha.
Notemos que si tomamos un polígono de $n$ vértices y lo cortamos formando una línea podemos representar una de las $2$ líneas donde juega algún Mati, ya que si Mati normal o espejado se “pasa” de juego el que lo reemplaza por el principio o final es su par que pasa a ser considerado como Mati $IZQ$ o $DER$ que en definitiva es el único Mati que juega sobre el polígono de $n$ vértices.
Pero haciendo esta construcción y asumiendo inductivamente que para $n$ vértices Lucas o Mati tienen estrategia ganadora podemos asumir que $WLOG$ sobre el juego de la izquierda Mati $IZQ$ tiene posición ganadora o perdedora haciendo que Mati $DER$ la tenga y en definitiva Mati real, concluyendo de que quien gane en $n$ gana en $2n$. Donde la estrategia de cada uno es copiar lo que hace en su juego anterior sobre una de las líneas del polígono más grande.
Donde si juntamos todo esto tenemos que para toda potencia de $2$ Lucas gana y para las que no lo son Mati gana.
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