Rioplatense 2008 N2 P1

[Joacoini]

En cada casilla de un tablero de $101$ filas y $11$ columnas se escribe uno de los números $1, 2, …, 11$. Si el número $a$ está inmediatamente a la izquierda de $b$ e inmediatamente arriba de $c$, entonces $a\leq b\leq c$ . ¿Puede haber en el tablero exactamente una fila de números iguales?

[Dauphineg]

Spoiler: mostrar

La respuesta es que si puede haber en el tablero exactamente una fila de números iguales. Mostramos un ejemplo en el cual se puede ver fácilmente que se cumplen las hipótesis del problema.
Numeramos de arriba hacia abajo las filas así $f_{0},f_{1},...,f_{100}$ y definimos a todas ellas de la siguiente manera: En $f_{0}$ colocamos todos $1$ y para cualquier otra fila $f_{k}$ ponemos los primeros $11-j$ elementos iguales a $i+1$ y los últimos $j$ elementos iguales a $i+2$ donde $i$ y $j$ son respectivamente el cociente y el resto de dividir al número $k$ por $10$ quedara algo asi:
$f_{0}=1,1,1,......,1,1$
$f_{1}=1,1,1,......,1,2$
$f_{2}=1,1,1,......,2,2$
...........
$f_{10}=1,2,2,......,2,2$
$f_{11}=2,2,2,......,2,3$
$f_{12}=2,2,2,......,3,3$
...........
$f_{99}=10,10,11......,11,11$
$f_{100}=10,11,11,......,11,11$

[usuario250]

creo que estaría bueno pensar el problema del tablero sin ninguna fila de números iguales.