Ana tiene un mazo de $36$ cartas con $4$ palos de $9$ cartas cada uno. Ella elige $18$ cartas y le da las restantes a Beto. Luego, en cada turno, Ana pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa y, a continuación, Beto pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa; las dos cartas jugadas ya no vuelven al juego. Si las dos cartas son del mismo palo o son del mismo número, Beto gana un punto. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos que Beto se puede asegurar, no importa cómo juegue Ana?
Llamamos a los palos $A, B, C, D$.
Veamos que Ana puede darle cartas a Beto para que no pueda hacer más de $15$ puntos.
Si le da los números del $1$ al $6$ de los palos $A, B$ y $C$ entonces Ana se queda con $D7$, $D8$ y $D9$ las cuales no se emparejan con ninguna de las cartas de Beto por lo que este no puede hacer más que $15$ puntos.
Ahora veamos que Beto se puede asegurar siempre hacer al menos $15$ puntos.
Para cada uno de los $9$ números puede pasar uno de cinco casos.
Caso 1
Ana tiene las cuatro cartas y Beto ninguna.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $a$
Caso 2
Ana tiene tres de las cartas y Beto una.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $b$
Caso 3
Ana tiene dos de las cartas y Beto las otras dos.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $c$
Caso 4
Ana tiene una carta y Beto tres.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $d$
Caso 5
Ana no tienen cartas de ese número y Beto las cuatro.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $e$
Podemos eliminar un Caso 1 con un Caso 5 al Beto jugar las cartas del mismo palo que tira Ana.
Podemos eliminar un Caso 2 con un Caso 4 de la siguiente forma, hay si o si dos palos los cuales dos cartas de ese palo las tiene Ana y las otras dos Beto así que esas las cancelamos entre sí y luego en cada uno de los números Beto tiene una carta y Ana la otra y esas las cancelamos entre sí
Cada vez que sucede el Caso 3, Beto puede conseguir los puntos de sus dos cartas al jugar las cuando Ana tira el mismo número.
Cómo Ana tiene $18$ cartas podemos ver qué
$4a+3b+2c+d=18$
Y viendo lo mismo para Beto
$4e+3d+2c+b=18$
Igualando ambas y despejando llegamos a
$2(a-e)=d-b$
Si $a=e$ entonces podemos cancelar todos los Casos 1 con los Casos 5 y todos los Casos 2 con los Casos 4.
WLOG $a>e$
Cancelamos todos los Casos 5 con los Casos 1 y los Casos 2 con los Casos 4.
Como $2(a-e)=d-b$ nos quedan algunos Casos 1 y el doble en Casos 4.
Veamos que usando las cartas de un Caso 1 y de dos Casos 4 podemos perder como mucho un punto, si las dos cartas que tiene Ana en los Casos 4 coinciden en palo entonces la carta de Ana que tiene el mismo palo que las de los Casos 4 no la podés emparejar con una de Beto de los Casos 4 por lo que ahí se pierde un punto.
Si las dos cartas que tiene Ana en los Casos 4 no coinciden entonces Beto puede emparejar sus cartas con las de Ana de la siguiente manera (fila mismo número y columna mismo palo)
IMG_20200312_154424.jpg
Teniendo en cuenta que $4a+3b+2c+d=18$ y $2(a-e)=d-b$ tenemos que $a-e\leq 3$ (sino $a\geq 4$ y $d\geq 8$ y contradice la primera formula) por lo que nos pueden quedar como mucho tres Casos 1 y seis Casos 4 los cuales los podemos separar en tres grupos de un Caso 1 y dos Casos 4 dónde perdemos como mucho un punto en cada grupo así que Beto se puede asegurar ganar $15$ puntos.
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Digamos que las cartas son de los palos A, B, C y D numeradas del 1 al 9.
\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline
A1 & A2 & A3 & A4 & A5 & A6 & A7 & A8 & A9 \\ \hline
B1 & B2 & B3 & B4 & B5 & B6 & B7 & B8 & B9 \\ \hline
C1 & C2 & C3 & C4 & C5 & C6 & C7 & C8 & C9 \\ \hline
D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9 \\ \hline
\end{array}
Llamemos "bloquear" una carta, elegir ciertas cartas de modo que Beto no pueda emparejar a la carta bloqueada con ninguna otra, por ejemplo, para bloquear $A1$ se tiene que elegir todo el palo $A$ y todas las cartas con el $1$.
Sin perder generalidad podemos decir que Ana elige todas las cartas para bloquear a $A1$, por lo que en total elige 12 cartas y por el momento el puntaje asegurado de Beto serían 17 puntos (si es que distribuimos el resto de cartas sin ninguna estrategia).
Vemos que es imposible bloquear las cartas $B1$, $C1$ y $D1$, ya que de hacerlo tendríamos que elegir todo el palo de alguna de esas cartas y por lo tanto, nos sobrepasaríamos del total de cartas que elige Ana.
En este caso, podemos bloquear indistintamente cualquier carta del palo $A$. Ya que bloquear cualquier carta del palo $A$ termina siendo lo mismo, elijamos bloquear $A2$ y $A3$. Quedándonos un total de 18 cartas elegidas.
Hay 3 cartas bloqueadas, por lo que Beto solo podría emparejar 15 cartas dando un puntaje asegurado de 15 puntos.
Una forma de emparejar:
Veamos también, que el palo y los números a elegir de Ana dan igual, siempre y cuando bloquee 3 cartas del mismo palo.
Ana no puede bloquear 4 cartas, ya que tiene un límite de elegir 18 cartas. Para bloquear 4 cartas tendría que poder elegir 21 cartas, lo que es imposible en el juego.
Por lo tanto, la mejor jugada de Ana es bloquear 3 cartas, dejándolo a Beto con un puntaje asegurado de 15 puntos.