Nacional 2019 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
LuchoLP

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Nacional 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Un conjunto de números enteros positivos distintos se llama singular si, para cada uno de sus elementos, luego de tachar ese elemento, los restantes se pueden agrupar en dos conjuntos sin elementos comunes de modo que la suma de los elementos de los dos grupos sea la misma. Hallar el menor entero positivo $n>1$ tal que existe un conjunto singular $A$ con $n$ elementos.
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2019 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Una solución mía mezclada con lo que explicó @Joacoini en el Nacional

Solución:
Spoiler: mostrar
Si dos sumas son iguales, estaría bueno que ambas tengan la misma cantidad de elementos. Vamos a ver entonces que los pares no funcionan.
Sea $n=2k$, y sean $a_1,\ldots ,a_{2k}$ los elementos de $A$, cada vez que sacamos un $a_i$, nos quedan dos conjuntos de suma $S_i$, y si llamamos $S$ a la suma de los $a_i$, tenemos que $a_i+2S_i=S$, de donde $a_i\equiv S\pmod 2$, entonces todos los $a_i$ tienen la misma paridad, por lo que $S$ es par, entonces los $a_i$ son pares. Sea $e_i$ el exponente de $2$ en la factorización de cada $a_i$, y sea $m$ el mínimo de los $e_i$. Dividiendo todos los $a_i$ por $2^m$ tenemos un nuevo conjunto con $b_i=\frac{a_i}{2^m}$ que funciona, y tiene al menos un elemento impar, entonces aplicando el mismo razonamiento, tenemos que todos los $b_i$ son pares, absurdo porque al menos uno es impar.
Los pares no funcionan.

Vemos que $3$ no funciona porque si saco uno, los otros dos tienen que ser iguales (porque su suma no es $0$), y son distintos por enunciado.

Ahora lo molesto, ver que el $5$ no funciona.
Supongamos que el $5$ funciona.
Sean $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ los elementos de $A$.
Saco $a_4$.
Tenemos que $a_5+a_3>a_2+a_1$, entonces no pueden ir así (ni sumarle más al LHS).
Tenemos que $a_5+a_2>a_3+a_1$ porque $a_5>a_3$ y $a_2>a_1$, entonces no pueden ir así.
Queda que $a_5+a_1=a_3+a_2$ o $a_5=a_1+a_2+a_3$.
Supongamos que pasa la primera.
Saco $a_3$.
Por el mismo razonamiento, solamente puede ser $a_5+a_1=a_4+a_2$ o $a_5=a_1+a_2+a_4$.
Si pasa la primera, entonces $a_3=a_4$, si pasa la segunda, entonces $2a_1+a_3+a_4=a_3+a_2$. El primer caso es absurdo porque los elementos son distintos, el segundo porque $a_2<a_4$ y son todos positivos. Supongamos que pasa la segunda (de cuando saco $a_4$).
Saco $a_3$.
Por el mismo razonamiento, solamente puede ser $a_5+a_1=a_4+a_2$ o $a_5=a_1+a_2+a_4$.
Si pasa la segunda, entonces $a_3=a_4$. Entonces solamente puede pasar la primera.
Saco $a_2$.
Por el mismo razonamiento, solamente puede ser $a_5+a_1=a_4+a_3$ o $a_5=a_1+a_3+a_4$.
Si pasa la primera, entonces $a_2=a_3$. Si pasa la segunda, entonces $a_2=a_4$. Absurdo.

Como en todos los casos llegamos a un absurdo, el $5$ no funciona.

El $7$ funciona, un ejemplo es $A=\{1,~3,~5,~7,~9,~11,~13\}$.
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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