Nacional 2019 N1 P2

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LuchoLP

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Nacional 2019 N1 P2

Mensaje sin leer por LuchoLP » Jue 14 Nov, 2019 10:03 am

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ bolillas numeradas del $1$ al $n$ y tres cajas de diferentes colores. Hallar el menor $n$ tal que para toda ubicación de las $n$ bolillas en las tres cajas siempre haya en una misma caja dos bolillas tales que la diferencia de los números escritos en ellas (el mayor menos el menor) sea igual a un número entero elevado al cuadrado.

BrunZo

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Re: Nacional 2019 N1 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 16 Nov, 2019 7:44 pm

Solución:
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Digo que el menor $n=29$. Para probar que $n\geq 29$, si $n$ fuese $28$ o menos, tomamos el siguiente ejemplo:
$$A=\{2, 5, 7, 10, 15, 17, 20, 22, 25, 28\}$$
$$B=\{3, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26\}$$
$$C=\{1, 4, 6, 9, 12, 14, 19, 24, 27\}$$
Removiendo los números que sea necesario (por ejemplo, para $n=26$ tomamos el ejemplo que consiste en sacar el $28$ y el $27$ del dado).

Ahora, veamos que $n=29$ efectivamente cumple la condición: Supongamos que no lo hace, y lleguemos a un absurdo.
Consideremos para $k\in\{1,2,3,4\}$ los números $k$, $k+25$ y el par $(k+16,k+25)$. Es claro que ni $k$ ni $k+25$ pueden estar con ningún elemento del par, y que tampoco pueden estar juntos, luego estos están en cajas diferentes y $k+9$ y $k+16$ están en la misma caja.
Entonces, tenemos los pares $(10,17)$, $(11,18)$, $(12,19)$, $(13,20)$. Pero, notemos que ninguno puede estar con ninguno, ya que siempre se forma un cuadrado perfecto (son seis cuentas, no las escribo), de modo que llegamos a un absurdo, por lo que $n=29$.

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