Nacional 1997 - N1 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

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Nacional 1997 - N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo »

Un cuadrado de $3\times 3$ se ha dividido en cuadraditos de lado $1$ (ver figura). Una hormiga sale del punto $A$, camina por las líneas de la cuadrícula y llega a $B$. Los únicos puntos por los que puede pasar más de una vez son los vértices de los cuadraditos. ¿Cuál es la máxima longitud que puede tener el camino de la hormiga?
oma14n_3.gif
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¿hola?

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Re: Nacional 1997 - N1 P5

Mensaje sin leer por ¿hola? »

Spoiler: mostrar
Sean los vértices...
$N O P B$
$J K L M$
$F G H I$
$A C D E$
Entonces fijémonos que en los siguientes $6$ conjuntos de segmentos hay por lo menos uno en cada uno por el que no se podrá pasar.
{$AC;AF$} {$PB;MN$} {$CD;DH;DE$} {$EI;IH;IM$} {$FJ;JK;JN$} {$NO;KO;OP$}
Esto es porque por $A$ podemos salir pero no entrar, por $B$ podemos entrar pero no salir y por $D,I,J,O$ podemos entrar y salir pero no volver.
Hay $24$ segmentos en total.
Un ejemplo con $24-6=18$ puede ser $A;C;G;H;D;E;I;H;L;K;G;F;J;N;O;P;L;M;B$ que termina siendo el máximo.
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Yes, he who

irinacaramuti06
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Re: Nacional 1997 - N1 P5

Mensaje sin leer por irinacaramuti06 »

Primero una pequeña ayuda por si estas leyendo sin haberlo sacado: El camino mas corto, sería ir siempre hacia arriba y hacia la derecha, sin ir nunca hacia abajo o la izquierda, ya que estaría volviendo. En el caso del camino mas largo, por lo tanto, se debe volver la mayor cantidad de veces posible, sin pasar 2 veces por el mismo lado, aunque se puede pasar 2 veces por el mismo vértice.
Spoiler: mostrar
Yo nombré a los vértices, en orden lineal, empezando por la fila donde se encuentra el punto b: D; E; F; B; L; M; N; G; K; Ñ; O; H; A; J; I; C.
El camino que encontré fue: A--K; K--Ñ; Ñ--J; J--I; I--O; O--H; H--G; G--N; N--O; O--Ñ; Ñ--M; M--L; L--D; D--E; E--M; M--N; N--F; F--B.
Espero se haya entendido :lol:
Irina

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¿hola?

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Re: Nacional 1997 - N1 P5

Mensaje sin leer por ¿hola? »

irinacaramuti06 escribió:
Lun 30 Nov, 2020 8:08 pm
Primero una pequeña ayuda por si estas leyendo sin haberlo sacado: El camino mas corto, sería ir siempre hacia arriba y hacia la derecha, sin ir nunca hacia abajo o la izquierda, ya que estaría volviendo. En el caso del camino mas largo, por lo tanto, se debe volver la mayor cantidad de veces posible, sin pasar 2 veces por el mismo lado, aunque se puede pasar 2 veces por el mismo vértice.
Spoiler: mostrar
Yo nombré a los vértices, en orden lineal, empezando por la fila donde se encuentra el punto b: D; E; F; B; L; M; N; G; K; Ñ; O; H; A; J; I; C.
El camino que encontré fue: A--K; K--Ñ; Ñ--J; J--I; I--O; O--H; H--G; G--N; N--O; O--Ñ; Ñ--M; M--L; L--D; D--E; E--M; M--N; N--F; F--B.
Espero se haya entendido :lol:
Tu solución esta incompleta. En este tipo de problemas, que te piden un máximo (podría ser un mínimo), hay que hacer en general dos cosas. Si vos decís "el máximo es $x$", tenes que, primero, dar un ejemplo de que $x$ cumple la condición del problema (como bien hiciste mostrando un camino de longitud $18$) y, segundo, tenes que demostrar que ningún numero mayor a $x$ cumple la condición del problema (por lo general la parte mas difícil del problema), para asi poder decir de forma rigurosa que "el máximo es $x$".
Asi que ¿por que no se pude cumplir la condición del problema con un camino de longitud mayor a $18$?
Yes, he who

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