Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P2

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BrunZo

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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:17 pm

Azambuja escribe un número racional $q$ en una pizarra. Una operación es eliminarlo y reemplazarlo por $q+1$, por $q-1$, o por $\frac{q-1}{2q-1}$ si $q\neq\frac{1}{2}$. El objetivo final de Azambuja es escribir el número $\frac{1}{2018}$ después realizar una cantidad finita de operaciones.
a) Demuestre que si el número inicial es $0$, entonces Azambuja no puede alcanzar su objetivo.
b) Encuentra todos los números iniciales por los cuales Azambuja puede alcanzar su objetivo.

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Turko Arias

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Re: Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 24 Jul, 2020 1:47 am

La parte a) para matar el vicio :lol:
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Supongamos que en un momento, $q$ es de la pinta $\frac{a}{b}$ con $(a,b)=1$ y que $b$ es impar. Claramente $q+1=\frac{a+b}{b}$ o $q-1=\frac{a-b}{b}$ no cambia el denominador de nuestra fracción, por lo que sigue siendo impar. Por otro lado, $\frac{q-1}{2q-1}=\frac{\frac{a}{b}-1}{2\frac{a}{b}-1}=\frac{a-b}{b} : \frac{2a-b}{b}= \frac{a-b}{2a-b}$, por lo que su nuevo denominador también sigue siendo impar. Luego, si en algún momento el denominador es impar, siempre va a serlo... Pero $0=\frac{0}{1}$
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quetrucazo.jpg
Luego, como inicialmente el denominador es impar, va a seguir siéndolo, por lo tanto al empezar con $0$ no se puede llegar a $\frac{1}{2018} \blacksquare$
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¿hola?

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Re: Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P2

Mensaje sin leer por ¿hola? » Vie 24 Jul, 2020 3:02 pm

Continuo la solución anterior.
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Vemos que la paridad del denominador de $\frac{a}{b}$ es invariante a las operaciones (y siempre son fracciones irreducibles)...
$(1) \frac{a+b}{b}$
$(2) \frac{a-b}{b}$
$(3) \frac{a-b}{2a-b}$ con $(a;b)\neq(1;2)$

Por tanto las fracciones con denominadores impares nunca llegaran a $\frac{1}{2018}$, veamos que las que tienen denominador par si pueden.
Desde ahora $b$ es un natural par y $a$ un entero.
$$\frac{1}{b}\rightarrow^{(1)}\frac{1+b}{b}\rightarrow^{(3)}\frac{1}{b+2}$$
Por tanto fácilmente podemos llegar de $\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{2018}$. Ahora vemos que desde cualquier fracción $\frac{a}{b}$ podemos llegar a $\frac{1}{2}$
Sumando y restando podemos llegar fácilmente de $\frac{a}{b}$ a $\frac{r_b(a)}{b}$ siendo $0<r_b(a)<b$ luego...

Si $\frac{b}{2}<r_b(a)<b$
($r_b(a)=\frac{b}{2}$ solo si $(a;b)=(1;2)$ y ya habríamos terminado).

$$\frac{r_b(a)}{b}\rightarrow^{(3)}\frac{r_b(a)-b}{2r_b(a)-b}=\frac{a'}{b'}$$
Como $0<2r_b(a)-b<b$ entonces $0<b'<b$

Si $0<r_b(a)<\frac{b}{2}$
$$\frac{r_b(a)}{b}\rightarrow^{(3)}\frac{r_b(a)-b}{2r_b(a)-b}\rightarrow^{(2)}\frac{-r_b(a)}{2r_b(a)-b}=\frac{r_b(a)}{b-2r_b(a)}=\frac{a'}{b'}$$
Como $0<b-2r_b(a)<b$ entonces $0<b'<b$

Entonces desde $\frac{a}{b}$ siempre llegamos a $\frac{a'}{b'}$ con $0<b'<b$ y $b'$ como $b$ par, por tanto aplicando esto eventual mente llegamos a $\frac{a^{''...'''''}}{2}$ donde sumando o restando ($a^{''...'''''}$ es impar) es fácil llegar a $\frac{1}{2}$ y luego finalmente a $\frac{1}{2018}$.
Yes, he who

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