Segundo Pretorneo 2019 NM P3 - NJ P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Luli97

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Segundo Pretorneo 2019 NM P3 - NJ P4

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 19 Jun, 2019 9:48 pm

Un mago y su asistente realizan el siguiente truco. Hay $12$ cajas vacías y cerradas en una fila. El mago abandona la habitación y una persona del público elige dos cajas y esconde en cada una de ellas una moneda, dejando la fila en la misma forma en la que estaba, pero el asistente conoce cuáles son las dos cajas que tienen monedas. El mago regresa a la habitación y el asistente puede abrir una caja que se encuentre vacía. A continuación, el mago elige cuatro cajas que se abren simultáneamente. El objetivo del mago es que entre esas cuatro cajas estén las dos que contienen monedas.
Desarrollar un método que les permita al mago y su asistente conseguir siempre el objetivo del mago.

BrunZo

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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P3 - NJ P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 19 Jun, 2019 10:34 pm

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El problema era horrible. El truco es hacer corresponder a cada una de las $12$ cajas que puede abrir el asistente una combinación de $4$ cajas, de modo que, dependiendo de las cajas que elija la persona del público, el asistente pueda seleccionar una caja que corresponda a cuatro cajas dentro de las cuales están las dos con monedas. El ejemplo es bastante feo y hallarlo es algo más bien tedioso.

Peznerd
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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P3 - NJ P4

Mensaje sin leer por Peznerd » Mié 04 Sep, 2019 12:49 pm

BrunZo escribió:
Mié 19 Jun, 2019 10:34 pm
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El problema era horrible. El truco es hacer corresponder a cada una de las $12$ cajas que puede abrir el asistente una combinación de $4$ cajas, de modo que, dependiendo de las cajas que elija la persona del público, el asistente pueda seleccionar una caja que corresponda a cuatro cajas dentro de las cuales están las dos con monedas. El ejemplo es bastante feo y hallarlo es algo más bien tedioso.
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A mí el problema me fascinó. Me encantaría ver la solución, yo llegué a lo que vos decís pero no se me ocurría una combinación que satisfaciera todos los casos posibles. Probé muchas cosas, como de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, del medio pa fuera, con pares, con congruencias módulo $2$ ó $3$ ó $4$ ó $5$ ó $6$ y nada de nada.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

alerodri1976
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Re: Segundo Pretorneo 2019 NM P3 - NJ P4

Mensaje sin leer por alerodri1976 » Lun 02 Mar, 2020 5:27 pm

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Veamos primero que si el asistente tiene que abrir una de las $12$ cajas sí o sí entonces no existe un método que le permita al mago encontrar las dos monedas abriendo cuatro cajas.

Si hay $12$ cajas y el participante del público esconde una moneda en dos de ellas entonces hay $66$ combinaciones posibles ($\frac{11\times 12}{2}$). El asistente que sabe donde están las monedas puede abrir una caja y de esta manera mandarle un mensaje al mago diciéndole que $4$ cajas abrir. Cada mensaje del asistente al mago cubre $6$ de las posibles $66$ combinaciones. El problema que encontramos es que necesariamente hay combinaciones que se repiten en diferentes mensajes y entonces con $12$ señales es imposible cubrir las $66$ combinaciones posibles.

Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$. Cada uno de estos mensajes cubre $6$ de los $66$ casos posibles y entre los tres cubren un total de $18$ casos ya que no tienen elementos en común. Es trivial notar que todos los demás mensajes tienen dos elementos en común con alguno de los tres primeros mensajes y por lo tanto los mensaje $4$ a $12$ solamente pueden descartar $5$ casos como máximo cada uno. En conclusión, si solo se pueden enviar $12$ mensajes, el número de casos que podemos cubrir es menor o igual a $6\times 3+5\times 9=63$.

Veamos ahora que si al asistente le dejamos la posibilidad de no abrir una caja entonces ahora hay $13$ mensajes posibles y el numero de casos que se pueden cubrir es menor o igual a $68$.

Para concluir mostremos una de estas estrategias

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
12 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
2 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
3 & 1 & 2 & 5 & 9 \\
\hline
4 & 1 & 2 & 6 & 10 \\
\hline
5 & 1 & 2 & 7 & 11 \\
\hline
6 & 1 & 2 & 8 & 12 \\
\hline
7 & 3 & 4 & 5 & 10 \\
\hline
8 & 3 & 4 & 6 & 9 \\
\hline
9 & 3 & 4 & 7 & 12 \\
\hline
10 & 3 & 4 & 8 & 11 \\
\hline
1 & 5 & 6 & 11 & 12 \\
\hline
11 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
\end{array}$

donde la primer número es el número de caja que abre el asistente y los otros $4$ son las cajas que abre el mago.

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