Nacional 2015 N1 P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar $1226$ fichas de $1\times 3$ como las de la figura en un cuadrado cuadriculado $Q$ de modo que no tengan puntos en común, ni siquiera vértices." Sin saber las dimensiones de $Q$, Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar $1250$ fichas de $1\times 3$ en tu cuadrado, en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.

Aclaración: Cada ficha cubre exactamente $3$ casillas del cuadrado $Q$. Las fichas se pueden girar.$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\; & \; & \; \\ \hline
\end{array}$$
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
usuario250

OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 236
Registrado: Vie 30 Dic, 2011 12:30 pm
Medallas: 1

Re: Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por usuario250 »

Sale con el típico truco para estos casos.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Nacional 2015 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Como las fichas no se pueden tocar, vamos a pensar cada ficha viendo los vértices que ocupa en vez de las casillas (si no se tocan, no puede haber dos fichas sobre un mismo vértice) y vamos a pensar el tablero $Q$ de $n\times n$ como un tablero $Q'$ de $(n+1)\times (n+1)$ formado por los vértices de $Q$ (es decir, los vértices son las casillas). El nuevo enunciado del problema es:
Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar $1226$ fichas de $2\times 4$ como las de la figura en un cuadrado cuadriculado $Q'$ de forma que no se superpongan." Sin saber las dimensiones de $Q'$, Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en tu cuadrado en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\; & \; & \; & \; \\ \hline
\; & \; & \; & \; \\ \hline
\end{array}$


Veamos que es verdad lo que dice Facundo.
Como las fichas no se superponen ni se salen del tablero, entonces el tablero tiene al menos $1226\times 8=9808$ casillas. Ahora, un tablero cuadrado de lado $k$ tiene $x=k^2$ casillas, o lo que es lo mismo, un tablero con $x$ casillas tiene lado $k=\sqrt{k^2}=\sqrt{x}$. Como $\sqrt{9808}\approx 99,04$, si el lado de $Q'$ midiese como mucho $99$, no nos entrarían las fichas, ya que $99^2=9801$, entonces el lado de $Q'$ mide al menos $100$, es decir que $Q'$ tiene al menos $100\times 100=10000$ casillas. Veamos con un ejemplo que podemos ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en un tablero de $100\times 100$ (si el tablero tiene dimensiones mayores, nos alcanza con agarrar un subtablero de $100\times 100$ y llenarlo con fichas de la misma forma). Separamos las columnas en grupitos de $4$ columnas consecutivas, y separamos las filas en grupitos de $2$ filas consecutivas (esto puede hacerse porque $100$ es múltiplo de $4$, y por lo tanto también es múltiplo de $2$) marcando una línea roja para separar los grupos; si miramos el tablero formado por líneas rojas, cada casilla es de $2\times 4$, en cada fila hay $\frac{100}{4}=25$ casillas y en cada columna hay $\frac{100}{2}=50$ casillas; entonces en total hay $25\times 50=1250$ casillas, y en cada una de ellas podemos poner una ficha de $2\times 4$. Por lo tanto, se puede hacer lo que dice Facundo para un tablero de $100\times 100$, y por lo tanto para cualquier tablero de mayor tamaño. Pero habíamos visto que si lo que dice Bruno es cierto entonces el tablero tiene que ser al menos de $100\times 100$. Concluimos que Facundo dice la verdad.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder