Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar $1226$ fichas de $1\times 3$ como las de la figura en un cuadrado cuadriculado $Q$ de modo que no tengan puntos en común, ni siquiera vértices." Sin saber las dimensiones de $Q$, Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar $1250$ fichas de $1\times 3$ en tu cuadrado, en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.
Aclaración: Cada ficha cubre exactamente $3$ casillas del cuadrado $Q$. Las fichas se pueden girar.$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\; & \; & \; \\ \hline
\end{array}$$
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Como las fichas no se pueden tocar, vamos a pensar cada ficha viendo los vértices que ocupa en vez de las casillas (si no se tocan, no puede haber dos fichas sobre un mismo vértice) y vamos a pensar el tablero $Q$ de $n\times n$ como un tablero $Q'$ de $(n+1)\times (n+1)$ formado por los vértices de $Q$ (es decir, los vértices son las casillas). El nuevo enunciado del problema es: Bruno le dice a Facundo: "He conseguido colocar $1226$ fichas de $2\times 4$ como las de la figura en un cuadrado cuadriculado $Q'$ de forma que no se superpongan." Sin saber las dimensiones de $Q'$, Facundo le respondió: "Si lo que decís es verdad entonces se pueden ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en tu cuadrado en las mismas condiciones." Determinar si es verdad lo que dice Facundo.
Veamos que es verdad lo que dice Facundo.
Como las fichas no se superponen ni se salen del tablero, entonces el tablero tiene al menos $1226\times 8=9808$ casillas. Ahora, un tablero cuadrado de lado $k$ tiene $x=k^2$ casillas, o lo que es lo mismo, un tablero con $x$ casillas tiene lado $k=\sqrt{k^2}=\sqrt{x}$. Como $\sqrt{9808}\approx 99,04$, si el lado de $Q'$ midiese como mucho $99$, no nos entrarían las fichas, ya que $99^2=9801$, entonces el lado de $Q'$ mide al menos $100$, es decir que $Q'$ tiene al menos $100\times 100=10000$ casillas. Veamos con un ejemplo que podemos ubicar $1250$ fichas de $2\times 4$ en un tablero de $100\times 100$ (si el tablero tiene dimensiones mayores, nos alcanza con agarrar un subtablero de $100\times 100$ y llenarlo con fichas de la misma forma). Separamos las columnas en grupitos de $4$ columnas consecutivas, y separamos las filas en grupitos de $2$ filas consecutivas (esto puede hacerse porque $100$ es múltiplo de $4$, y por lo tanto también es múltiplo de $2$) marcando una línea roja para separar los grupos; si miramos el tablero formado por líneas rojas, cada casilla es de $2\times 4$, en cada fila hay $\frac{100}{4}=25$ casillas y en cada columna hay $\frac{100}{2}=50$ casillas; entonces en total hay $25\times 50=1250$ casillas, y en cada una de ellas podemos poner una ficha de $2\times 4$. Por lo tanto, se puede hacer lo que dice Facundo para un tablero de $100\times 100$, y por lo tanto para cualquier tablero de mayor tamaño. Pero habíamos visto que si lo que dice Bruno es cierto entonces el tablero tiene que ser al menos de $100\times 100$. Concluimos que Facundo dice la verdad.