Un segmento $S$ de longitud $50$ está cubierto por varios segmentos de longitud $1$, todos ellos contenidos en $S$. Si se quitara cualquiera de estos segmentos unitarios, $S$ ya no estaría completamente cubierto. Hallar el máximo número de segmentos unitarios con esta propiedad.
Aclaración: Suponer que los segmentos incluyen sus extremos.
Sea [math]L el segmento de longitud [math]50. Diremos porción propia de un segmento [math]M a una porción del segmento [math]M que no contiene a todos los puntos de dicho segmento. Diremos que esa porción propia es derecha si contiene al punto extremo derecho del segmento [math]M, y diremos porción propia izquierda si contiene al punto extremo izquierdo de [math]M. Probaremos que por encima de cada segmento unitario que está en el piso de [math]L hay a lo sumo dos segmentos unitarios. Si hubieran tres segmentos unitarios, entonces observemos lo siguiente: El primer segmento unitario [math]S_1 que está por encima del segmento unitario [math]S no puede cubrir todos los puntos de [math]S, pues al quitar [math]S entonces lo que sobra sí cubre todo [math]L. Por lo tanto, [math]S_1 cubre a una porción propia de [math]S, y supongamos que esa porción propia es derecha. Ahora, sea [math]S_2 el segundo segmento unitario que está por encima de [math]S. Hay dos posibilidades:
Si [math]S_2 no está encima de [math]S_1, entonces [math]S_2 cubre una porción propia izquierda de [math]S, pero esto da lugar a que ya no puede haber un tercer segmento unitario [math]S_3 que está arriba de [math]S, pues éste estaría encima de [math]S_1 y [math]S_2, lo cual implica que [math]S está demás
Si [math]S_2 está arriba de [math]S_1, entonces la proyección de [math]S_2 sobre [math]L no cubre completamente a [math]S_1, y tampoco debe cubrir completamente a [math]S. Pero como [math]S_1 cubre una porción propia derecha de [math]S, entonces [math]S_2 debe cubrir una porción propia izquierda de [math]S, de lo contrario al quitar [math]S_1, el segmento [math]L sigue cubierto. Ahora, si existiera un segmento unitario [math]S_3 que está por encima de [math]S, entonces éste segmento no puede cubrir una porción propia derecha de [math]S, pues [math]S_1 estaría demás, y tampoco puede cubrir una porción propia izquierda de [math]S, pues [math]S_2 estaría demás. Por lo tanto, por encima de cada segmento unitario que toca a [math]L sólo debe haber dos segmentos unitarios.
Con este resultado podemos observar que, si [math]r es un número real tal que [math]2<r<3, entonces a un segmento de [math]L que tiene longitud [math]r lo puede cubrir completamente a lo sumo [math]4 segmentos unitarios (analizando con el resultado sale fácil). Sólo debemos ver como máximo cuántos segmentos de longitud [math]r puede haber en [math]L, donde [math]2<r<3. En efecto, notemos que [math]\frac{50}{3}<\frac{50}{r}<\frac{50}{2}=25. Por lo tanto, a lo sumo podemos tener [math]24 segmentos [math]r. Ahora, observemos que si tomamos una porción de longitud [math]48, eso tiene exactamente [math]24 segmentos de longitud [math]2, quiere decir que si tomamos una porción de longitud [math]49 esa se puede dividir en [math]24 segmentos de longitud [math]r, con [math]2<r<3. Esto se hace porque como en [math]L sobra una longitud [math]1 éste puede ser cubierto por a lo sumo [math]2 segmentos unitarios y se consigue cuando la dividimos por la mitad, y una mitad está en el extremo izquierdo y la otra mitad en un extremo derecho. Luego, colocanos segmentos unitarios por encima de ellas (así sea por encima de otras, la cosa es que tiene que cubrir esa mitad). Ahí ya se tienen dos segmentos unitarios más. Por lo tanto, hay a lo sumo [math]4\times 24+2=98 segmentos unitarios usados.
Observación 1: Para verificar que un segmento [math]T de longitud [math]r=\frac{25}{12} sí se puede cubrir con [math]4 segmentos unitarios hacemos lo siguiente: El primer segmento unitario lo colocamos de modo que empiece desde el extremo izquierdo de [math]T; el segundo segmento unitario que termine en el extremo derecho de [math]T; el tercer segmento unitario que termine en el punto medio de [math]T y el cuarto segmento unitario que empiece en el punto medio de [math]T.
Observación 2: En algunas ocaciones he mencionado que un segmento [math]S_i cubre a un segmento [math]S_j, y quizás ellos ni se tocan, pero me estoy refiriendo a que la proyección de [math]S_i cubre a [math]S_j. O por decirlo mejor, lo que cubre el área que está bajo ese segmento.
Última edición por Emerson Soriano el Jue 10 Dic, 2015 11:56 am, editado 1 vez en total.
Creo que el error de Emerson Soriano está en que si bien cada segmento [math]r que él nombra es cubierto enteramente por a lo sumo [math]4 segmentos unitarios, un segmento unitario puede ser porción propia derecha de un segmento [math]r y porción propia izquierda del segmento [math]r que está a continuación de este, contando así como un segmento unitario más con la propiedad del enunciado.
Notemos que no pueden existir [math]2 segmentos uno exactamente arriba del otro. Ahora vamos a ver por qué un segmento no puede tener más de [math]2 segmentos encima. Tenemos dos casos:
Para no confundir, no está dibujado el segmento de la derecha, que está sobre el segmento inferior.
Caso 1:
Nacional 2015 N3 P4 (1).png
Claramente el segmento superior no tapa ninguna parte que no esté cubierta por los dos inferiores, luego, esta distribución no cumple con las condiciones del enunciado.
Caso 2:
Nacional 2015 N3 P4 (2).png
Este caso se obtiene invirtiendo las posiciones de los dos segmentos superiores en el caso anterior, como lo importante son las proyecciones de los segmentos sobre [math]S, este caso tampoco cumple las condiciones del enunciado.
Entonces cada segmento puede tener máximo [math]2 segmentos encima, y las proyecciones de éstos tienen que ser estrictamente disjuntas.
Por comodidad supongamos que todos los segmentos inferiores están apoyados sobre [math]S. Llamamos pareja a un par de segmentos a los que les corresponde el mismo segmento inferior.
Si queremos que el espacio que hay entre cada par de segmentos inferiores lo cubran [math]2 segmentos superiores, entonces ese espacio tiene que ser [math]E>0,5, sino, si [math]E\leq 0,5 uno de los segmentos superiores debería cubrir más de la mitad de su segmento inferior correspondiente, y por lo tanto, su pareja cubrirá menos de la mitad del segmento y por lo tanto, la parte sobrante será mayor que [math]0,5, es decir, que cubrirá parte del siguiente segmento inferior. Pero entonces sólo puede haber un segmento superior entre cada par de segmentos inferiores.
Queremos maximizar la cantidad de segmentos, por lo tanto debemos minimizar el espacio entre ellos, entonces podemos poner un máximo de [math]\left \lfloor \frac{50}{1,5}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{50}{\frac{3}{2}}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{50\times 2}{3}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{100}{3}\right \rfloor =33\geq n segmentos inferiores, por lo que el máximo [math]n posible es [math]33. Como por cada par de segmentos inferiores tenemos [math]2 segmentos superiores, tenemos [math]32\times 2=64 segmentos superiores. Lo que nos deja un total de [math]33+64=97 segmentos posibles.
Si el espacio entre cada par de segmentos inferiores lo tiene que cubrir un sólo segmento superior, entonces lo que tenemos es que a cada segmento inferior le corresponde un segmento superior. Por lo tanto, para maximizar la cantidad de segmentos, debemos maximizar la cantidad de segmentos inferiores. Este máximo es [math]n=49, ya que con [math]n=50 cubrimos todo el segmento si dejar ningún espacio libre, y no podemos colocar más segmentos encima. Entonces con [math]n=49 la máxima cantidad de segmentos que cubren a [math]S es de [math]2\times 49=98. El ejemplo se obtiene colocando el primer segmento en un extremo de [math]S y todos los siguientes separados por la misma distancia [math]d<\frac{1}{48} de forma que quedará un pequeño espacio al final, después colocamos los segmentos superiores separados por la misma distancia pero desde el extremo opuesto de [math]S.
Por lo tanto el máximo número de segmentos es [math]98.
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Es claro que no puede haber más de dos segmentos sobre un mismo punto, ya que en ese caso, el segmento cuyo origen está entre los orígenes de los otros dos estará completamente contenido entre estos.
Consideremos cada punto sobre el que hay dos segmentos, y los acomodamos siendo el segmento con origen más a la izquierda el de abajo. Si hubiese $50$ de estos puntos sobre $S$, los segmentos de abajo lo cubrirían completamente y por lo tanto hay exactamente $50$ segmentos. Si no, habiendo $k$ puntos sobre $S$, podemos colocar $2k$ segmentos, por lo tanto, tenemos que maximizar el valor de $k$, como $k\in \mathbb{N}$ y $k<50$, el máximo valor posible es $k=49$ y por lo tanto, podemos colocar como mucho $98$ segmentos sobre $S$.
Tomamos uno de los extremos de $S$ y lo recorremos de izquierda a derecha asignándole en orden los números $1$ , $2$ , … ,$n$ a cada segmentito.
Sean $I$ los que tienen un número impar y $P$ los que tienen un número par.
Notemos que si sacamos todos los segmentos $I$, en la configuración que nos queda no hay $2$ segmentos que estén superpuestos (ni siquiera un punto) ya que si lo hubiera, el segmento $I$ comprendido entre ellos puede sacarse violando la condición del enunciado.
Ahora es claro que la mayor cantidad de segmentitos que se pueden poner sin que haya $2$ de ellos superpuestos es $49$. Luego $|P| \leq 49$ y analogamente $|I| \leq 49$, entonces:
$$n = |I| + |P| \leq 49+49 = 98$$
Y no es difícil encontrar un ejemplo con $n=98$.
