Problema 4 APMO 2015

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Matías V5

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Problema 4 APMO 2015

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 03 Abr, 2015 5:15 pm

Sea [math] un entero positivo. Considere [math] rectas distintas en el plano, entre las cuales no hay dos paralelas. De las [math] rectas, [math] se colorean de azul y las otras [math] se colorean de rojo. Sea [math] el conjunto de todos los puntos del plano que pertenecen a al menos una recta azul, y sea [math] el conjunto de todos los puntos del plano que pertenecen a al menos una recta roja. Probar que existe una circunferencia que interseca a [math] en exactamente [math] puntos, y también interseca a [math] en exactamente [math] puntos.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Fran5

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Re: Problema 4 APMO 2015

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 03 Abr, 2015 6:12 pm

Chamuyo que se me ocurrió en el colectivo de vuelta,
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Agarramos una recta y un punto en ella, y trazamos una circunferencia tangente a la recta en ese punto

Decimos que "agrandar" la circunferencia es aumentar el radio de la circunferencia que tenemos, pero que nos siga siendo tangente a la recta inicial en el mismo punto.

Ahora, tenemos nuestra circunferencia arbritraria. Si es tangente a dos rectas de diferente color y corta al resto, entonces ganamos.

Supongamos que es tangente sólo a una recta y no corta (ni es tangente) a todas las demás.
Si la "agrandamos", todas las rectas a las que ya cortaba las va a seguir cortando. Y a las que no, se irá acercando cada vez más hasta que las corte
De este modo, podemos hacer que corte a todas las rectas que no intersecaba y sean del mismo color que la inicial.

Veamos que hacer con las rectas del otro color

Si la circunferencia no corta a una o más del otro color, seguimos agrandando hasta que las corta y sea tangente sólo a una (y ahi estamos)

Si son internas (o sea, corta a todas) achicamos la circunferencia hasta que sea tangente a (al menos) una recta del otro color *, si consideramos una de esas recta y el punto de tangencia, podemos ir agrandando para otro lado, notando que ya corta todas las rectas del otro color (y a las tangentes cuando la agrandamos) y que a las rectas que no corta y eran del color inicial están afuera, por lo cual, agrandando, llegamos a que sea tangente a una recta del otro color, a una recta del color inicial y además corte a todas las otras rectas.
*(es importante ver aca que, a diferencia del caso anterior, cuando achicamos quedará al menos una recta del color inicial a la cual no corta, por lo cual, al agrandar arbitrariamente, la cortará o será tangente)

Por último, supongamos que es tangente a más de una recta de (al menos) uno de los dos colores. Queremos llegar a una disposición en la cual es tangente sólo a una de algún color (sin importar las del otro)
Movemos la circunferencia [math] de forma paralela a una de las rectas tangentes, (de modo que siga cortando a todas las rectas que ya cortaba del mismo color que la recta paralela), y agrandamos otro [math] (para que corte a todas las otras rectas que eran tangentes).
Ahora, es tangente sólo a una recta de un color y a al menos dos del otro color. Lo que hacemos es considerar la bisectriz del angulo que forman la recta del color y una de las del otro color (de modo que la bisectriz pase por el centro de la circunferencia)*. "Agrandamos" la recta por esa bisectriz un [math] de modo que siga siendo tangente a las dos rectas consideradas, corte a las otras rectas a las cuales era tangente, y siga cortando al resto de las rectas que antes cortaba.
*(elegimos convenientemente esta recta del otro color para que, al agrandar, corte efectivamente a las otras rectas y no que suceda lo contrario)

En síntesis, se puede, y vimos cómo hacerlo
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Problema 4 APMO 2015

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Dom 12 Abr, 2015 1:25 pm

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Creo que si agarrás las dos rectas de distinto color que forman el ángulo más grande funciona
[math]

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Joacoini

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Re: Problema 4 APMO 2015

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Mar, 2020 2:58 pm

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Sea $\omega$ una circunferencia que contenga a todos los puntos de intersección entre las rectas.

Cada recta corta a la $\omega$ en $2$ puntos, llamamos $r_1$ a una recta cualquiera la cual corta a $\omega$ en $A$ y en $B$.

En el arco $\overset{\frown}{AB}$ (cualquiera de los dos) hay exactamente un punto de cada una de las otras rectas ya que si una recta tiene dos puntos en el mismo arco entonces esa recta y $r_1$ no se cortan dentro de $\omega$ lo cual contradice la elección de $\omega$.

Yendo de $A$ a $B$ en sentido horario nombramos $r_2,...r_{2n}$ a las rectas.

$r_2$ corta a $\omega$ en $C$ y $D$ tal que $A, C, B, D$ esten en sentido horario.

El arco $\overset{\frown}{AC}$ que no contiene a $B$ ni a $D$ no contiene ningún punto de otra recta, este también es el caso del arco $\overset{\frown}{BD}$ que no contiene a $A$ ni a $C$ ya que si tuviese un punto de la recta $r_j$ entonces el otro punto de $r_j$ debería estar en el arco $\overset{\frown}{AB}$ que no contiene a $C$ o en el arco $\overset{\frown}{CD}$ que no contiene a $A$ y en cualquiera de los dos casos $r_j$ no se corta con $r_1$ dentro de $\omega$ o no se corta con $r_2$ dentro de $\omega$.

Ahora terminemos con el problema, existen $r_i$ y $r_{i+1}$ tal que una de las rectas es roja y la otra azul (en caso contrario todas las rectas son del mismo color) por lo que una circunferencia que sea tangente a estás dos rectas en puntos exteriores a $\omega$ y que no esté contenida en los sectores sin rectas (representados en amarillo) es cortada por todas las otras rectas exactamente $2$ veces por lo que está circunferencia contiene $2n-1$ puntos rojos y $2n-1$ puntos azules.
IMG_20200308_122151.jpg
Idea detrás de la solución.
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Es fácil resolver el problema cuando todas las rectas concurren.
Así que es bueno llevar el problema para ese lado y algo que podemos notar es que cuando hacemos mucho anti-zoom las rectas tienden a concurrir (muy buen teorema para usar en problemas de Geo), lo único que falta ahora es formalizar está idea y por esa razón introduzco a $\omega$ y pruebo de que se cumplen algunas propiedades que se cumplen en una concurrencia.
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NO HAY ANÁLISIS.

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