Nacional 2009 N3 P1

[LuchoLP]

Se han marcado [math]2009 puntos de una circunferencia. Lucía los colorea con [math]7 colores distintos, a su elección. Luego Iván puede unir tres puntos de un mismo color, formando de este modo triángulos monocromáticos. Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera vértices en común.

El objetivo de Iván es trazar la mayor cantidad posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de Lucía es impedir lo más posible la tarea de Iván mediante una buena elección del coloreo. ¿Cuántos triángulos monocromáticos obtendrá Iván si los dos hacen lo mejor posible su tarea?

[Gabriel Bernal]

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Si hay $3n$ puntos de un mismo color Iván puede marcar el centro de la circunferencia y trazar radios para formar $n$ arcos, cada uno con $3$ puntos del mismo color. Ahora es claro que Iván, uniendo los puntos que estén en el mismo grupo, puede marcar $n$ triángulos monocromáticos. Si hay $3n+1$ o $3n+2$ puntos del mismo color sólo se podrán marcar $n$ triángulos porque cada triángulo tiene $3$ vértices y no se pueden compartir.
Como $2009/7=287$, Lucía debe elegir los puntos de manera que cada grupo de puntos del mismo color tenga la misma cantidad de puntos. En definitiva debe haber $287$ puntos de cada color. $287=3.95+2$ por lo que, si los dos hacen lo mejor posible su tarea, Iván obtendrá $95$ triángulos monocromáticos.

[Matías V5]

@Gabriel Bernal:
Es verdad que Iván puede asegurarse esa cantidad de triángulos monocromáticos. Pero no es lo mejor que puede conseguir, puede hacer más. Te estás limitando un poco al suponer que Iván sólo va a usar puntos de un color. Seguí pensándolo!