Regional 2013 N2 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por Ivan »

Hay [math] puntos marcados en una recta y se considera uno de los dos simiplanos que esta recta determina. Los puntos se deben unir de modo que cada punto quede unido a exactamente un punto y que las curvas que unen puntos no se corten y estén contenidas en el semiplano considerado.
Determinar de cuántas maneras se puede hacer.
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Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
kinbo
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por kinbo »

german escribió:no puede haber una cantidad impar de puntos entre dos puntos unidos.
enumerando los doce puntos de izquierda a derecha, el punto 1 se puede unir con otros 6, el 2 con 5 (no cuento los anteriores), el 3 con 5, etc.
se puede decir que cada punto se puede unir con todos los puntos de distinta paridad a dicho numero que estén a su derecha.
lo que es lo mismo que:
6x5x5x4x4x3x3x2x2x1x1= 86.400 posibilidades.
El punto 1 no puede unirse con los demás 6, si unís el 1 con el 10, el 10 puede unirse al 11 y luego al 12, o al 9 8 7 6 5 4 3 2, dejando sin unir al grupo restante.
cada punto no puede unirse con los 6, solo puede unirse con 2, es decir, el 1 puede unirse con su siguiente número (2) o el 12, el 2 puede unirse con el 3, o el 12, formando un diagrama de árbol que resulta 2^10,
comenzando con el 2, este puede unirse con el 1 (2^9 posibilidades) y con el 3, y el 3 puede unirse con el 1 (2^8 posibilidades) y asi, finalmente queda 2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+2, = 1024, comenzando con cada nº pueden formarse 1024 con cada uno, es decir 1024x12 = 12288 es la respuesta
triplej
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por triplej »

No e si yo entendí mal pero no era que cada punto se puede unir con uno solo, osea si el 10 esta unido al 1 no puede estar unido tambien con el 11
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Gregorio

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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por Gregorio »

A todo el mundo le dio algo diferente... no deben haber sido muchos a los que les haya salido
¿Alguien tiene algún razonamiento lógico para esto?
Última edición por Gregorio el Jue 19 Sep, 2013 7:56 pm, editado 1 vez en total.
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I said I was the cops
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The state looks down on sodomy!
triplej
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por triplej »

yo no se si esta bien, me dio 132 formas pero no entiendo como lo razonaron lo demás porque solo hay que trazar 6 arco de manera tal que cada punto este unido a uno solo de manera que no se corte osea si el 1 esta unido al 4, el 2 no puede estar unido al 5
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Fran5

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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por Fran5 »

Yo trate de usar inducción y mágicamente llegue al número de Catalan
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eliseocamps
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por eliseocamps »

Me dieron 89 formas
Si fuesen 2 puntos hubiese 1 probabilidad
Si fuesen 4 puntos hubiesen 2 probabilidades (1x2)
Si fuesen 6 puntos hubiesen 5 probabilidades (2x2) + 1
Si fuesen 8 puntos hubiesen 13 probabilidades (5x2) + 2 + 1
Si fuesen 10 puntos hubiesen 34 probabilidades (13x2) + 5 + 2 + 1
Como son 12 puntos son 89 probabilidades (34x2) + 13 + 5 + 2 + 1
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triplej
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por triplej »

si fueran 8 habria 14 y si fueran 10 habria 32
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eliseocamps
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por eliseocamps »

triplej escribió:si fueran 8 habria 14 y si fueran 10 habria 32
PORQUE?
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Re: Regional 2013 N2 P2

Mensaje sin leer por 3,14 »

No lo pude resolver, pero esto es lo que puse en la prueba.
Llamo a los puntos [math] con [math]
Si [math] se une a [math], entonces todos los puntos [math] tales que [math] deben unirse con otro punto [math] tal que [math] donde [math] es un conjunto vacío o con un número par de elementos.
Si [math] posee solo dos elementos [math] y [math], entonces [math] donde la flecha indica que se une a.
Para el punto [math] hay 6 opciones para unirse.
Otra cosa que puse es que la situación puede pensarse como una circunferencia en la que se marcan 12 puntos. Cada punto debe unirse solo a un solo punto de los otros 11, y ninguna de las rectas trazadas se deben cortar entre sí.
En cuanto a la cantidad de formas, empecé a buscar fórmulas, pero no me llevaron a nada...
[math]
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