Nacional N1P3 2000

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ktc123

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Nacional N1P3 2000

Mensaje sin leer por ktc123 » Sab 06 Jul, 2013 12:44 pm

En una ciudad hay [math] clubes, todos con distintos números de socios. Si se cerrara un club, no importa cuál sea, todos los socios del club que se cierra podrían distribuirse en los otros [math] clubes de modo tal que los [math] clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios. Más aun, si se cerraran dos clubes, no importa cuáles, se podrían distribuir todos los socios de los dos clubes que cerraron en los otros [math] clubes de modo que los [math] clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios.

El club Atlético es el que tiene la mayor cantidad de socios. Determinar cuál es el menor valor posible del número de socios del club Atlético.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

LuchoLP

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Re: Nacional N1P3 2000

Mensaje sin leer por LuchoLP » Dom 07 Jul, 2013 1:59 am

Spoiler: mostrar
Si cerramos cualquier club, nos quedan 10 valores iguales, sumándole partes de la cantidad del club cerrado a las demás cantidades. Esto significa: suma de 11 valores = 10X.
Si cerramos dos clubes, nos quedan 9 valores iguales, sumándole partes de la suma de las cantidades de los 2 clubes cerrados a las demás cantidades. Esto es: suma de 11 valores = 9Y.
De ambas se concluye: suma de 11 valores = 90Z.
Por otro lado, cuando sacamos algún club para repartirlo entre los demás valores, ninguno de éstos puede ser mayor a 90Z / 9 = 9Z, ya que éste es el nuevo valor que debe adoptar cada uno cuando se le suma una parte del club cerrado, para que queden todos iguales; si alguno fuera mayor, habría que sacarle algo para igualarlo a los demás valores.
De la misma manera si sacamos dos clubes, llegamos a que ninguno de los demás valores es mayor a 10Z.
Entonces: suma de 11 valores <= 9Z + 9Z - 1 + ... + 9Z - 10 >= 90Z. De esto: Z >= 7.
Queda: suma de 11 valores >= 630.
Llamamos a los valores: a, a + b, a + b + c, ..., a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k; con cualquiera de estos valores mayores a 0.
Tenemos: 11a + 10b + 9c + 8d + ... + k >= 630.
Si asignamos a todos los valores el 1, la cuenta da 66, entonces hay que sumar muchas "a", para que a + ... + k sea lo menor posible. Para llegar a 630, asignamos el 52 a "a" y un 2 a "i".
Finalmente, la suma de las letras es 63, que es el menor valor posible del número de socios del club Atlético.

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Fran5

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Re: Nacional N1P3 2000

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 07 Jul, 2013 3:57 pm

Lo que yo hice fue algo diferente
Spoiler: mostrar
Sea [math] el club más numeroso y [math] los demás clubes con [math]

Se tiene que
[math]
Siendo [math] la cantidad de afiliados al club [math]

Por lo visto, la suma de [math] (1)
Veamos si puede haber [math] socios en total

Tenemos que [math] y por tanto [math]
El resto de los [math] tendria a lo sumo [math] socios cada uno, y el número máximo sería
[math]. Contradicción.

Entonces [math]
Por (1), se tiene que [math]
Por tanto, habrá al menos un club con [math] socios o menos. Si ese club cerrara, sería imposible distribuir sus socios cumpliendo la primer condición del enunciado

Vayamos al caso que haya [math] socios en total.

Tenemos que [math] y por tanto [math]
El resto de los [math] tendría a lo sumo [math] socios cada uno, y el número máximo sería
[math]. Superando los [math] supuestos.

Veamos que si quitamos [math] socios de [math] hasta [math] tenemos una disposición que cumple las propiedades del enunciado, puesto que cualquiera sea/n el/los club/es que cierre/n, siempre será posible redistribuir sus socios de manera que cada club tenga [math] ó [math] socios según sea el caso.

En conclusión, la menor cantidad posible de socios de [math], es [math]
EDIT, no vi la parte de distinto numero de socios, despues lo corrijo
1  
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Fran5

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Re: Nacional N1P3 2000

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 07 Jul, 2013 5:09 pm

Spoiler: mostrar
Tenemos que [math] es la cantidad de socios del club [math], y es la mayor cantidad.
La cantidad de socios es múltiplo de [math] por enunciado
La cantidad de socios es múltiplo de [math] por enunciado

Entonces, la cantidad de socios es múltiplo de [math] (1)

Sea [math] el Club con más socios y sean [math] los otros [math] clubes de modo que

[math] con [math] (2)
(|A| es la cantidad de miembros del club [math])

Sea [math], como la cantidad de socios es diferente para todos los clubes, es como mínimo [math]
Luego, [math] con [math] (por (1))

Si [math] es claro que el caso es imposible si se cierra el club [math], puesto que hay que agregar como mínimo [math] jugadores para igualar los clubes [math] con [math]
Si [math], la cantidad total de socios es [math] que debe ser múltiplo de [math]
Luego, [math]
Se deduce por ello que el menor valor de socios totales es [math] (pues [math] si [math])

Por otro lado, se tiene que [math] (3)

Tenemos [math]
Luego, [math] y [math]

Veamos que existe una disposición

[math]
[math]

La cual cumple las condiciones del enunciado
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Peznerd
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Re: Nacional N1P3 2000

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 03 Nov, 2019 6:59 pm

Fran5 escribió:
Dom 07 Jul, 2013 3:57 pm
Lo que yo hice fue algo diferente
Spoiler: mostrar
Sea $A$ el club más numeroso y $a_i$ los demás clubes con $1\leq i \leq 10$

Se tiene que
$|A|>|a_1|\geq |a_2|\geq \cdots \geq |a_{10}|$
Siendo $|A|$ la cantidad de afiliados al club $A$

Por lo visto, la suma de $|A|+|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_10|=90k$ (1)
Veamos si puede haber $90$ socios en total

Tenemos que $|A|>\frac{90}{11}$ y por tanto $|A|\geq 9$
El resto de los $a_i$ tendria a lo sumo $8$ socios cada uno, y el número máximo sería
$9+10\cdot 8=89<90$. Contradicción.

Entonces $|A|\geq 10$
Por (1), se tiene que $\sum_{i=1}^{10}|a_i| = 80$
Por tanto, habrá al menos un club con $8$ socios o menos. Si ese club cerrara, sería imposible distribuir sus socios cumpliendo la primer condición del enunciado

Vayamos al caso que haya $180$ socios en total.

Tenemos que $|A|>\frac{180}{11}$ y por tanto $|A|\geq 18$
El resto de los $a_i$ tendría a lo sumo $17$ socios cada uno, y el número máximo sería
$18+10\cdot 17=188$. Superando los $180$ supuestos.

Veamos que si quitamos $2$ socios de $a_3$ hasta $a_{10}$ tenemos una disposición que cumple las propiedades del enunciado, puesto que cualquiera sea/n el/los club/es que cierre/n, siempre será posible redistribuir sus socios de manera que cada club tenga $18$ ó $20$ socios según sea el caso.

En conclusión, la menor cantidad posible de socios de $A$, es $18$
EDIT, no vi la parte de distinto numero de socios, despues lo corrijo
La única explicación que entendí jeje
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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