Nacional 2009 N2 P6

[amcandio]

Se tiene un paralelepípedo recto de [math]4 \times 5 \times 6 dividido en [math]120 cubitos unitarios. Los cubitos se colorean de gris, de a uno por vez, en orden arbitrario. En el momento en el que se colorea cada cubito, se escribe en él la cantidad de vecinos suyos que han sido coloreados con anterioridad. (Dos cubitos son vecinos si tienen una cara en común.) Sea [math]S la suma de todos los números escritos al finalizar el proceso. Hallar los posibles valores de [math]S.

[Matías]

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Veamos dos cubitos con una cara en común.
En el momento en que el primero de los cubitos es pintado, como el otro no está pintado podemos decir que la cara no suma para el valor de [math]S. Pero al pintarse el otro cubito, como su vecino sí está pintado ahora la cara suma [math]1 para el valor de [math]S. Así, nos queda que, en total, la cara suma [math]1 para el valor de [math]S.
Entonces, como cada cara que tengan en común dos cubitos suma [math]1 al valor de [math]S, y [math]S solo puede aumentar su valor al haber dos cubitos vecinos pintados, tenemos que el valor de [math]S va a ser igual a la cantidad de caras que sean compartidas por dos cubitos, que lo podemos contar como la cantidad de aristas de un prisma de [math]3\times 4\times 5, así que [math]S=4\times 5\times (6-1)+4\times (5-1)\times 6+(4-1)\times 5\times 6=286.