Nacional N2 P1 2007

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ktc123

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Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por ktc123 » Jue 16 May, 2013 11:03 pm

En cada casilla de un tablero de [math] casillas consecutivas hay que escribir un número entero de [math] a [math], sin repetir números. A continuación se consideran los siguientes [math] números: el número de la primera casilla de la izquierda; la suma de los números de las dos primeras casillas (desde la izquierda); la suma de los números de las tres primeras casillas; . . . ; la suma de los números de las [math] primeras casillas y la suma de los números de todas las casillas. Por cada uno de estos [math] números que tenga resto [math] en la división por [math] se gana [math] peso. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede ganar?
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Ivan

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Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 17 May, 2013 4:12 pm

Dejo la idea, con cuidado se puede escribir bien:
Spoiler: mostrar
  • Pensar todos los números como restos módulo [math]. Tenemos que los restos [math] aparecen [math] veces cada uno y los restoss [math] aparecen [math] veces cada uno.
  • Demostrar que uno puede olvidarse de los [math] (mostrando que resolver el problema con los [math] equivale a resolver el problema sin los [math] y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto [math]).
  • Probar que con los otros [math] restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así:
    [math]
    Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es [math], así que la suma de todos no puede tener resto [math].

    Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto [math], ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un [math], pero no hay [math] en el tablero.

    Luego a lo sumo puede haber [math] sumas con resto [math]. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
  • Ahora intercalando los [math], concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es [math] pesos.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

NicolasC

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Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por NicolasC » Mar 23 Abr, 2019 4:14 pm

Ivan escribió:
Vie 17 May, 2013 4:12 pm
Dejo la idea, con cuidado se puede escribir bien:
Spoiler: mostrar
  • Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0,4,5,6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1,2,3$ aparecen $335$ veces cada uno.
  • Demostrar que uno puede olvidarse de los $0$ (mostrando que resolver el problema con los $0$ equivale a resolver el problema sin los $0$ y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto $5$).
  • Probar que con los otros $2007-334=1673$ restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así: $$(2\,3)\,\,[(1\,5)\,(1\,5)\, \ldots\,(1\,5)]\,\,[(2\,4)\,(2\,4)\,\ldots\, (2\,4)]\,\,[(3\,3)\, (3\,3)\, \ldots \,(3\,3)]\,\,1$$ Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es $0$, así que la suma de todos no puede tener resto $5$.

    Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto $5$, ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un $0$, pero no hay $0$ en el tablero.

    Luego a lo sumo puede haber $\frac{1673-1}{2}=836$ sumas con resto $5$. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
  • Ahora intercalando los $0$, concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es $836+334=1170$ pesos.
Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?

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Ivan

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Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 01 May, 2019 5:15 pm

NicolasC escribió:
Mar 23 Abr, 2019 4:14 pm
Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?
Tenés razón, donde dice
Ivan escribió:
Vie 17 May, 2013 4:12 pm
Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$, $6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
debería decir
Ivan escribió:
Vie 17 May, 2013 4:12 pm
Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$ aparecen $334$ veces cada uno y los restos $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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