Nacional 2012 P2 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 06 Nov, 2012 10:45 pm

En un torneo de fútbol con [math] equipos cada par de equipos jugó entre sí exactamente una vez. En la tabla final los puntajes de los equipos son [math] números consecutivos. Hallar el máximo valor posible del puntaje del ganador del torneo. (Una victoria otorga [math] puntos, un empate, [math] punto, una derrota, [math] puntos).
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

tuvie

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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 02 Dic, 2012 4:11 pm

Puede ser que el problema no tenga sentido? Posteo mi solución para [math] y como llego a una contradicción.
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La máxima cantidad de puntos es obtenida cuando en todos los partidos hay un ganador, y la menor, cuando todos fueron empates. Con esto afirmo lo siguiente: [math]. Desarrollando, queda [math], pero como [math] es entero, [math]. Con esto obtenemos que el último obtuvo [math] puntos y el primero [math]. Ahora veamos que el primero ganó sí o sí [math] y perdió el otro, ya que si no se pasa de los [math] partidos. Como el que sacó [math] puntos quedó invicto, el primero le ganó al último y al tercero, y perdió con el segundo, pero éste empato con los dos últimos, y el último sacó [math] puntos con el tercero, CONTRADICCIÓN! Por lo que es imposible obtener lo pedido con el caso [math]
No probé con los casos siguientes, por lo tanto no se si es este en particular o el problema en general.

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jhn

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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por jhn » Dom 02 Dic, 2012 5:30 pm

El problema tiene sentido. Para [math] los resultados pueden ser 2, 3, 4 y 5.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
https://jhnieto.000webhostapp.com/

tuvie

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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 02 Dic, 2012 5:40 pm

Jajajaja no puedo creer lo que hice, [math], de ahi se me paso el otro caso.

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lichafilloy

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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por lichafilloy » Mar 27 Ago, 2013 7:44 pm

Alguien tiene idea como sale este problema, aunque sea una idea o algo?
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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Mar 27 Ago, 2013 8:52 pm

Spoiler: mostrar
No lo pensé mucho, pero en sí tenés que calcular la suma máxima de puntos que se pueden obtener entre todos. La cantidad de partidos es [math] y la cantidad de puntos totales la podés ver como [math] donde [math] es la cantidad de partidos empatados... Planteando la igualdad de eso con la suma de [math] números consecutivos, llegás a que [math] tiene que ser múltiplo de [math]. [math] claramente no funciona porque todos los puntajes serían múltiplos de [math], o sea es imposible que sean consecutivos. Y después tal vez se puede demostrar que [math] funciona para el máximo, no sé...
Ahí edité y acá está:
Spoiler: mostrar
Como dijimos antes, planteemos la suma de [math] consecutivos, como [math] donde [math] es el menor de estos números consecutivos y [math] es el n del problema. Luego, sabemos que:
[math].
Despejando, [math]. Y por lo que dijimos antes [math]. Luego, [math]. El número más grande es [math], y lo podemos acotar, con esto último, por [math].

Queda ver si hay ejemplo para esa cota...
[math]

Gonzaa
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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por Gonzaa » Mié 30 Oct, 2019 9:23 pm

jhn escribió:
Dom 02 Dic, 2012 5:30 pm
El problema tiene sentido. Para $n=4$ los resultados pueden ser 2, 3, 4 y 5.
Exactamente. Llamemos A, B, C y D a los equipos. Se puede si C empata con los 3, A le gana a B y empata con D y B le gana a D

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NPCPepe

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Re: Nacional 2012 P2 N2

Mensaje sin leer por NPCPepe » Dom 10 Nov, 2019 12:28 pm

aca tengo una demostracion de que n solo puede ser 4

Dado un puntaje X, la minima cantidad de partidos ganados es: $(X-(n-1))/3)$ es la minima porque se supone en este caso que los demas fueron empatados para alcanzar el valor de X, si uno ajusta esto para puntajes consecutivos tiene haciendo una suma de elementos de sucesion aritmetica:
que la minima cantidad de partidos ganados es $((3*n*(n-1)+n^2-n)/2n)+n$ despues pongo las formulas porque me tengo que ir.
la minima cantidad de partidos ganados no puede superar a $(n*(n-1))/2$ que es la maxima cantidad de partidos ganados (la mitad), esta funcion solo esta cerca de la otra en n=4, 10 y 12 donde podria ser que teniendo en cuenta que son numeros enteros redondear y por eso se puede pero con n=5 una funcion da 8 y la otra 20 asi que seria imposible

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