Nacional 2006 N2 P5

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Ivan

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Nacional 2006 N2 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 25 Ago, 2012 4:38 pm

Se tienen 2006 tarjetas, una con cada número entero de 1 a 2006 que se distribuyen al azar en una hilera, una a continuación de la otra. Dos jugadores, por turnos, sacan una tarjeta de cualquiera de los dos extremos de la hilera, a elección del jugador. Cuando se han retirado todas las tarjetas, se suman los números de las tarjetas que retiró cada jugador y el que obtiene la suma mayor gana. Determinar para cada distribución de las tarjetas cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora, describir la estrategia y demostrar que es ganadora.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2006 N2 P5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 15 Oct, 2012 5:29 pm

Spoiler: mostrar
Primero veamos que efectivamente siempre alguien gana, es decir que no puede haber empate.
[math], que es efectivamente impar.

Afirmo que el primer jugador tiene estrategia ganadora.

Veamos cuál es:

Sea [math] el reordenamiento, donde [math] está en el lugar [math] (de izquierda a derecha). Lo que hace el jugador 1 es calcular las sumas [math] y [math]. Entonces siempre retira los números [math] con [math] par o impar, dependiendo de cuál de las dos sumas le dió más grande.

Veamos que siempre puede sacar esos: sin pérdida de la generalidad supongamos que [math], entonces empieza sacando [math], luego al jugador 2 le quedan para sacar únicamente elementos [math] con [math] par. Va a tener que sacar uno, supongamos [math], entonces al jugador 1 le queda [math] para sacar y nuevamente al jugador 2 le deja dos [math] con [math] par.

Obviamente gana con esta estrategia ya que sumaría [math] y su rival sumaría [math] y [math].
1  
[math]

Peznerd
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Re: Nacional 2006 N2 P5

Mensaje sin leer por Peznerd » Jue 07 Nov, 2019 6:19 pm

Martín Vacas Vignolo escribió:
Lun 15 Oct, 2012 5:29 pm
Spoiler: mostrar
Primero veamos que efectivamente siempre alguien gana, es decir que no puede haber empate.
$1+...+2006=1003\cdot 2007$, que es efectivamente impar.

Afirmo que el primer jugador tiene estrategia ganadora.

Veamos cuál es:

Sea $a_i$ el reordenamiento, donde $a_i$ está en el lugar $i$ (de izquierda a derecha). Lo que hace el jugador 1 es calcular las sumas $P = \sum_{i\text{ par}} a_i$ y $I = \sum_{i \text{ impar}} a_i$. Entonces siempre retira los números $a_i$ con $i$ par o impar, dependiendo de cuál de las dos sumas le dió más grande.

Veamos que siempre puede sacar esos: sin pérdida de la generalidad supongamos que $P<I$, entonces empieza sacando $a_1$, luego al jugador 2 le quedan para sacar únicamente elementos $a_i$ con $i$ par. Va a tener que sacar uno, supongamos $a_2$, entonces al jugador 1 le queda $a_3$ para sacar y nuevamente al jugador 2 le deja dos $a_i$ con $i$ par.

Obviamente gana con esta estrategia ya que sumaría $I$ y su rival sumaría $P$ y $P<I$.
¡Brillante! :D
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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