En cada casilla de un tablero de [math]1\times 2007 casillas consecutivas hay que escribir un número entero de [math]1 a [math]2007, sin repetir números. A continuación se consideran los siguientes [math]2007 números: el número de la primera casilla de la izquierda; la suma de los números de las dos primeras casillas (desde la izquierda); la suma de los números de las tres primeras casillas; . . . ; la suma de los números de las [math]2006 primeras casillas y la suma de los números de todas las casillas. Por cada uno de estos [math]2007 números que tenga resto [math]5 en la división por [math]6 se gana [math]1 peso. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede ganar?
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Pensar todos los números como restos módulo [math]6. Tenemos que los restos [math]0,4,5,6 aparecen [math]334 veces cada uno y los restoss [math]1,2,3 aparecen [math]335 veces cada uno.
Demostrar que uno puede olvidarse de los [math]0 (mostrando que resolver el problema con los [math]0 equivale a resolver el problema sin los [math]0 y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto [math]5).
Probar que con los otros [math]2007-334=1673 restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así:
Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es [math]0, así que la suma de todos no puede tener resto [math]5.
Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto [math]5, ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un [math]0, pero no hay [math]0 en el tablero.
Luego a lo sumo puede haber [math]\frac{1673-1}{2}=836 sumas con resto [math]5. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
Ahora intercalando los [math]0, concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es [math]836+334=1170 pesos.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0,4,5,6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1,2,3$ aparecen $335$ veces cada uno.
Demostrar que uno puede olvidarse de los $0$ (mostrando que resolver el problema con los $0$ equivale a resolver el problema sin los $0$ y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto $5$).
Probar que con los otros $2007-334=1673$ restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así: $$(2\,3)\,\,[(1\,5)\,(1\,5)\, \ldots\,(1\,5)]\,\,[(2\,4)\,(2\,4)\,\ldots\, (2\,4)]\,\,[(3\,3)\, (3\,3)\, \ldots \,(3\,3)]\,\,1$$ Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es $0$, así que la suma de todos no puede tener resto $5$.
Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto $5$, ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un $0$, pero no hay $0$ en el tablero.
Luego a lo sumo puede haber $\frac{1673-1}{2}=836$ sumas con resto $5$. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
Ahora intercalando los $0$, concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es $836+334=1170$ pesos.
Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?
Si buscas un resultado distinto, no hagas siempre lo mismo
NicolasC escribió: ↑Mar 23 Abr, 2019 4:14 pm
Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?
Tenés razón, donde dice
Ivan escribió: ↑Vie 17 May, 2013 4:12 pm
Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$, $6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
debería decir
Ivan escribió: ↑Vie 17 May, 2013 4:12 pm
Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$ aparecen $334$ veces cada uno y los restos $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)