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Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Mié 25 Jul, 2012 11:37 pm
por Nacho
Se eligen $150$ números $x_1,\ldots ,x_{150}$, cada uno igual a $\sqrt{2}-1$ o a $\sqrt{2}+1$. A continuación se multiplica el primero por el segundo, el tercero por el cuarto, y así siguiendo hasta el $149^\circ$ por el $150^\circ$ y se suman los $75$ productos:$$S=x_1x_2+x_3x_4+\ldots +x_{149}x_{150}.$$Determinar si se pueden elegir los $150$ números para que la suma final $S$ sea igual a $121$. ¿Y a $111$?
Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Mar 15 Ene, 2013 2:44 pm
por Prillo
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- La suma [math]S consta de [math]75 productos de la forma [math]x_{2i+1}x_{2i+2} donde [math]x_{2i+1},x_{2i+2}\in\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1\}. Por lo tanto, hay tres posibilidades para el producto [math]x_{2i+1}x_{2i+2}: Si [math]\{x_{2i+1},x_{2i+2}\}=\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1\} entonces [math]x_{2i+1}x_{2i+2}=3+2\sqrt{2}. Si [math]\{x_{2i+1},x_{2i+2}\}=\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1\} entonces [math]x_{2i+1}x_{2i+2}=1. Y si [math]\{x_{2i+1},x_{2i+2}\}=\{\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\} entonces [math]x_{2i+1}x_{2i+2}=3-2\sqrt{2}. Supongaos que hay [math]A pares del primer tipo, [math]B del segundo, y [math]C del tercero. Luego [math]S=A(3+2\sqrt{2})+B+C(3-2\sqrt{2}) y [math]A+B+C=75 de donde [math]S=A(3+2\sqrt{2})+(75-A-C)+C(3-2\sqrt{2})=2A+2C+2\sqrt{2}(A-C)+75. Veamos que si [math]S es racional entonces [math]A=C. En efecto, si fuera [math]A\neq C entonces [math]A-C\neq 0 y operando resulta que [math]\sqrt{2}=\frac{S-2A-2C-75}{2(A-C)} es racional (por ser suma y división de números racionales), pero es bien sabido de [math]\sqrt{2} es irracional, y por lo tanto tenemos una contradicción. Luego si [math]S es racional debemos tener [math]A=C. En tal caso [math]S=2A+2C+2\sqrt{2}(A-C)+75=4A+75. Si [math]S=121 entonces deberíamos tener [math]A=\frac{23}{2}, que no es entero y por lo tanto [math]S=121 no es posible. Para [math]S=111 obtenemos [math]A=9\Rightarrow C=9\Rightarrow B=57, por lo cual haciendo que [math]9 pares [math]\{x_{2i+1}x_{2i+2}\} sean iguales a [math]\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1\}, otros [math]9 iguales a [math]\{\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\}, y los restantes [math]57 iguales a [math]\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1\} obtenemos [math]S=111. Luego [math]S puede ser igual a [math]111, pero no a [math]121.
Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Mié 01 May, 2013 8:41 am
por tuvie
- Spoiler: mostrar
- Es fácil notar que [math]a=(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}, [math]b=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2} y [math](\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1. Sea [math]2x la cantidad de numeros en conjunto con otro que satisfacen [math]a+b=3 e [math]y los restantes que son iguales a [math]1.
El sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:
[math]2x+y=75
[math]6x+y=121
(El [math]6 es por [math]3\times{2x})
Las soluciones para ese sistema no son enteras, por lo tanto no es resultado posible.
Ahora para la parte [math]b, el sistema cambia al siguiente:
[math]2x+y=75
[math]6x+y=111
Los resultados para este sistema son [math]x=9 e [math]y=57, es decir que para [math]9 terminos se tiene [math]=(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}), para otros [math]9 es [math](\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2} y los [math]57 restantes es [math](\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1 y estamos.
Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Mié 01 May, 2013 12:03 pm
por usuario250
Mirá si seré viejito que ese año fue el primer entrenamiento de imo que fui.
Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Dom 17 Jun, 2018 11:06 pm
por FARID
El problema al leerlo nos dice que posibles elementos de la sucesion son: √2-1 o √2+1 .
Al multiplicarlos podemos obtener los siguientes resultados: 3+2√2 , 3-2√2 y 1
Tomemos a "a" como veces que se usa 3+2√2, "b" como veces que se usa 3-2√2 y "c" como veces que se usa 1
CON 121:
a+b+c=75(porque estos son los resultados de multilicar 2 de estos elementos como √2-1 o √2+1 ya que en total son 150 osea 150/2)
a(3+2√2)+b(3-2√2)+c(1)=121
RESTAMOS
a(3+2√2)-a+b(3-2√2)-b=46 FACTORIZAMOS
a(2+2√2)+b(2-2√2)=46
Para que nos salga entero debemos igualar a y b , PEO NO LLEGA A SALIR
CON 111:
a+b+c=75
a(3+2√2)+b(3-2√2)+c(1)=111
RESTAMOS
a(3+2√2)-a+b(3-2√2)-b=36 FACTORIZAMOS
a(2+2√2)+b(2-2√2)=36
Para que nos salga debemos igualar y a y b son 9 , y LLEGA A SALIR
ENTONCES SOLO SALE 111 , Y 121 NO
por cierto tengo tan solo 12 años asi que por favor diganme si me equivoque
Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005
Publicado: Lun 18 Jun, 2018 6:04 pm
por Gianni De Rico
Comentario:
Deberías justificar que es imposible que $a$ y $b$ sean iguales (entre los pequeños detalles de la solución ese es el más importante al menos visto por arriba), una forma de hacerlo es suponer que logramos que sean iguales y llegar a que su valor es $\frac{23}{2}$, lo que no es posible ya que son números naturales (de hecho, es lo que usa Prillo en su solución)