Problema 4 Selectivo de IMO 2005

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Nacho

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Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por Nacho » Mié 25 Jul, 2012 11:37 pm

Se eligen [math] números [math], cada uno igual a [math] o a [math]. A continuación se multiplica el primero por el segundo, el tercero por el cuarto, y así siguiendo hasta el [math] por el [math] y se suman los [math] productos:
[math]

Determinar si se pueden elegir los [math] números para que la suma final [math] sea igual a [math]. ¿Y a [math]?
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Prillo

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Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por Prillo » Mar 15 Ene, 2013 2:44 pm

Spoiler: mostrar
La suma [math] consta de [math] productos de la forma [math] donde [math]. Por lo tanto, hay tres posibilidades para el producto [math]: Si [math] entonces [math]. Si [math] entonces [math]. Y si [math] entonces [math]. Supongaos que hay [math] pares del primer tipo, [math] del segundo, y [math] del tercero. Luego [math] y [math] de donde [math]. Veamos que si [math] es racional entonces [math]. En efecto, si fuera [math] entonces [math] y operando resulta que [math] es racional (por ser suma y división de números racionales), pero es bien sabido de [math] es irracional, y por lo tanto tenemos una contradicción. Luego si [math] es racional debemos tener [math]. En tal caso [math]. Si [math] entonces deberíamos tener [math], que no es entero y por lo tanto [math] no es posible. Para [math] obtenemos [math], por lo cual haciendo que [math] pares [math] sean iguales a [math], otros [math] iguales a [math], y los restantes [math] iguales a [math] obtenemos [math]. Luego [math] puede ser igual a [math], pero no a [math].

tuvie

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Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por tuvie » Mié 01 May, 2013 8:41 am

Spoiler: mostrar
Es fácil notar que [math], [math] y [math]. Sea [math] la cantidad de numeros en conjunto con otro que satisfacen [math] e [math] los restantes que son iguales a [math].
El sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:
[math]
[math]
(El [math] es por [math])
Las soluciones para ese sistema no son enteras, por lo tanto no es resultado posible.
Ahora para la parte [math], el sistema cambia al siguiente:
[math]
[math]
Los resultados para este sistema son [math] e [math], es decir que para [math] terminos se tiene [math], para otros [math] es [math] y los [math] restantes es [math] y estamos.

usuario250

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Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por usuario250 » Mié 01 May, 2013 12:03 pm

Mirá si seré viejito que ese año fue el primer entrenamiento de imo que fui.

FARID
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Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por FARID » Dom 17 Jun, 2018 11:06 pm

El problema al leerlo nos dice que posibles elementos de la sucesion son: √2-1 o √2+1 .
Al multiplicarlos podemos obtener los siguientes resultados: 3+2√2 , 3-2√2 y 1
Tomemos a "a" como veces que se usa 3+2√2, "b" como veces que se usa 3-2√2 y "c" como veces que se usa 1
CON 121:
a+b+c=75(porque estos son los resultados de multilicar 2 de estos elementos como √2-1 o √2+1 ya que en total son 150 osea 150/2)
a(3+2√2)+b(3-2√2)+c(1)=121
RESTAMOS
a(3+2√2)-a+b(3-2√2)-b=46 FACTORIZAMOS
a(2+2√2)+b(2-2√2)=46
Para que nos salga entero debemos igualar a y b , PEO NO LLEGA A SALIR
CON 111:
a+b+c=75
a(3+2√2)+b(3-2√2)+c(1)=111
RESTAMOS
a(3+2√2)-a+b(3-2√2)-b=36 FACTORIZAMOS
a(2+2√2)+b(2-2√2)=36
Para que nos salga debemos igualar y a y b son 9 , y LLEGA A SALIR
ENTONCES SOLO SALE 111 , Y 121 NO
por cierto tengo tan solo 12 años asi que por favor diganme si me equivoque

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Gianni De Rico

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Re: Problema 4 Selectivo de IMO 2005

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 18 Jun, 2018 6:04 pm

Comentario:
Deberías justificar que es imposible que $a$ y $b$ sean iguales (entre los pequeños detalles de la solución ese es el más importante al menos visto por arriba), una forma de hacerlo es suponer que logramos que sean iguales y llegar a que su valor es $\frac{23}{2}$, lo que no es posible ya que son números naturales (de hecho, es lo que usa Prillo en su solución)
[math]

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