Si ponemos [math]x=0 en la ecuación original obtenemos
[math]f( f( y ) )=y
Usaremos esto varias veces.
Poniendo [math]y=f(0) en la ecuación original queda [math]f( x^2+ f( f( 0 ) ) )= f( 0 ) - x^2 o sea que
[math]f( x^2 )= f( 0 ) - x^2\qquad \text{( I )}
Aplicando [math]f a ambos lados en la ecuación original queda [math]x^2+f( y )=f( y- x^2). Ahora poniendo [math]y=0 queda
[math]f(-x^2)=f(0)+x^2\qquad \text{( II )}
Entonces si [math]y\geq 0, [math]f( y )= f( 0 )-y por [math]\text{( I )} y si [math]y<0, entonces [math]f( y )=f(0)-y por [math]\text{( II )}.
Sigue que para todo [math]y\in \mathbb{R}, se tiene [math]f( y )=f( 0 )-y.
Notemos que todas las funciones de la forma [math]f( y )=c-y con [math]c\in\mathbb{R} cumplen la ecuación. Luego estas son todas las funciones que cumplen lo pedido.
Forma alternativa de terminar el problema, cuando ya está para los no negativos:
Tenemos [math]f(x^2+f(y))=y-x^2.
Supongamos que fijamos [math]y en cualquier número negativo. [math]f(y) puede ser o bien positivo o bien negativo, no importa. Lo que sí importa es que está fijo.
Como los reales no están acotados por arriba podemos elegir [math]x suficientemente grande como para hacer que [math]x^2+f(y) sea positivo. Ahora aplicamos la fórmula para [math]f de un número positivo.
[math]f(0)-(x^2+f(y))=y-x^2 [math]f(0)-x^2-f(y)=y-x^2 \rightarrow f(0)-f(y)=y \rightarrow f(y)=f(0)-y
Como asumimos que [math]y era negativo, nos queda lo que queríamos. Se termina como la otra versión xD
Ivan escribió:
Notemos que todas las funciones de la forma [math]f( y )=c-y con [math]c\in\mathbb{R} cumplen la ecuación. Luego estas son todas las funciones que cumplen lo pedido.
Porque [math]f(0) puede tomar cualquier valor fijo [math]c\in\mathbb{R}. Entonces teníamos que [math]f(x) = f(0) - x = c-x. Y las que son de la pinta [math]f(x)=c-x cumplen, entonces estás.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Si $x=0$, tenemos que $f(f(y)) = y$. Luego, tomando $f$ a ambos lados y poniendo $y=0$ y $a=-x^2$, obtenemos $f(a)=f(0)-a=c-a$, para algún $c$ y $a\leq 0$.
Ahora, tomamos $y\mapsto f(y)$ y tenemos que $f(x^2+y)=f(y)-x^2$. Tomando $y=0$ y $a=x^2$, llegamos que $f(a)=f(0)-a=c-a$, para algún $c$ y $a\geq 0$.
Entonces, $f(x)=c-x$ para todo valor real $c$ son los que cumplen.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Sí $x = 0$ en la ecuación inicial se tiene: $f(f(y)) = y$
Sí $y = f(y)$ en la ecuación inicial $\Rightarrow$ $f(x^2 + y) = f(y) - x^2$ (1)
Sí $y = 0$ en (1) $\Rightarrow$ $f(x^2) = f(0) - x^2$ (2)
Sí $y = -(x^2)$ en (1) $\Rightarrow$ $f(0) = f(-(x^2)) - x^2$ (3)
Sí $x ≥ 0$, entonces sí $x = \sqrt{x}$ en (2) $\Rightarrow$ $f(x) = f(0) - x$, es decir, sea $f(0) = c$ $\Rightarrow$ $f(x) = c - x$, $c$ $∈$ $\mathbb{R}$.
Sí $x < 0$, entonces sí $x = \sqrt{|x|}$ en (3) $\Rightarrow$ $f(-|x|) - |x|= f(0)$
$f(x) + x = f(0)$
$f(x) = f(0) - x$,llegamos a lo mismo.
Por lo tanto $f(x) = c - x$, $c$ $∈$ $\mathbb{R}$.
Comprobemos en la ecuación inicial:
$f(x^2 + f(y)) = y - x^2$
$f(x^2 + c - y) = c - c - x^2 + y$
Es decir, $y - x^2 = y - x^2$
Por lo cual queda demostrado.
