PAGMO 2021 - P3

[Nando]

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que la igualdad
$$f(x+yf(x+y)) +xf(x)= f(xf(x+y+1))+y^2$$ es verdadera para cualesquiera números reales $x, y$.

Nota: Una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una regla de asignación tal que a cada número real $z$ le asocia un único número real denotado por $f (z)$. Por ejemplo, $f (z) = z^2 + 1$ es una función que asocia al número $1$ con $f(1) =1^2 + 1 = 2$, y asocia al $-2$ con $f ( - 2) = (-2)^2 + 1 = 5$.

[Turko Arias]

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Sea $P(x,y): f(x+yf(x+y))+xf(x)=f(xf(x+y+1))+y^2$
$$P(-1,0): 0=f(-f(0))$$
$$P(0,-f(0)): f(0)=f(0)+(-f(0))^2 \rightarrow (-f(0))^2=0 \rightarrow f(0)=0$$
$$P(0,1): f(f(1))=1$$
$$P(1,-1): f(1)+f(1)=f(f(1))+1 \rightarrow 2f(1)=2 \rightarrow f(1)=1$$
$$P(x,-x): f(x)+xf(x)=f(xf(1))+x^2 \rightarrow xf(x)=x^2$$
Si $x \neq 0$ entonces $f(x)=x$ y por otro lado, ya sabíamos que $f(0)=0$, luego $f(x)=x$ es la única candidata a solución, y es fácil verificar que funciona $\blacksquare$