Selectivo Ibero 2021 - P4

[Gianni De Rico]

Sea $a_n$ la sucesión dada por$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{1}{a_n},\quad n=1,2,\ldots .$$Demostrar que $a_{220}>21$.

[EmRuzak]

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$a_{x-4}=f(x)$
$f(x)'>1/f(x)$
$\int{f(x)f(x)'}=\int{f(x) df(x)}=\frac{f(x)^2}{2}+c_1>\int{1 dx}=x+c_2$
$f(x)>\sqrt{2x+c}$
$f(0)=3$
$f(216)>\sqrt{2*216+9}=21$

la demostracion tiene mas agujeros que un colador pero bueno

[Fran5]

Cómo sabes que

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atención: contenido no apto para menores

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f es derivable?

[EmRuzak]

Cómo sabes que

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atención: contenido no apto para menores

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f es derivable?

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si, no sirve la solución, pero asi uno se puede dar cuenta que es mas o menos $\sqrt{2x+c}$ y asi se puede sacar la solución de verdad, que esta relacionada, que es básicamente demostrar que $f(x+2)^2-f(x+1)^2>2$, sin pensar tanto.

[Fran5]

Siguiendo la idea de EmRuzak

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Tenemos $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_{n-1}}$

Equivalentemente

$a_{n+1}^2 = a_{n+1}a_n + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$

$a_{n+1}^2 = ( a_n + \frac{1}{a_{n-1}}) a_n + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$

$a_{n+1}^2 = a_n^2 + \frac{a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}} > a_n^2+2$

Para $n > 5$, tenemos $a_{n}^2 > 2n+1$, que se verifica por inducción

Luego $a_{220} > \sqrt{2 \cdot 220 +1} = \sqrt{441} = 21$

[Lean]

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$a_{n+2}^{2}=a_{n+2}a_{n+1}+\frac{a_{n+2}}{a_n} \Rightarrow a_{n+2}^{2}=(a_{n+1}+\frac{1}{a_{n}})a_{n+1}+\frac{a_{n+2}}{a_n}$

$(a_{n+1}+\frac{1}{a_{n}})a_{n+1}+\frac{a_{n+2}}{a_n} \Rightarrow a_{n+1}^{2}+\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_{n+2}}{a_n}$

Como $a_{n+1}>a_{n}$ y $a_{n+2}>a_{a_n} \Rightarrow a_{n+2}^{2}>a_{n+1}^{2}+2$

$a_{n+1}^{2}+2>a_{n}^{2}+4 \Rightarrow a_{n}^{2}+4>a_{n-1}^{2}+6 \Rightarrow ... \Rightarrow a_{218+2}^{2}>a_{4}^{2}+2*216$

$a_{218+2}^{2}>a_{4}^{2}+2*216=441 \Rightarrow a_{220}^{2}>441 \Rightarrow a_{220}>21$.$\blacksquare$