Entrenamiento IMO 2021 - Problema 67

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Tomás Morcos Porras

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 67

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Sea $A$ el conjunto de los números reales que verifican:
i) $1\in A$;
ii) $x\in A\Rightarrow x^2\in A$;
iii) $x^2-4x+4\in A\Rightarrow x\in A$.
Demostrar que $2000+\sqrt{2001}\in A$.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
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Tomás Morcos Porras

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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 67

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

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Lema 1: Sea $a\in A$. Luego, $2+\sqrt{a}\in A$.
Demostración: En iii), $x^2-4x+4=a$, luego $x^2-4x+(4-a)=0$, aplicando la resolvente $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4(4-a)}}{2}=2\pm\sqrt{a}$ y en particular $x=2+\sqrt{a}\in A$.
Lema 2: Sea $a\in A$. Luego, $2k+a\in A$ con $k$ entero positivo.
Demostración: Por ii), $a^2\in A$. Luego, por el lema 1, $2+\sqrt{a^2}=2+a\in A$, y esto mismo se puede aplicar sobre $a=2+a$ por $k$ veces.
Por i) y el lema 2, todos los impares positivos están en $A$. Luego, por el lema 1 con $a=2001$, $2+\sqrt{2001}\in A$ y por el lema 2 con $a=2+\sqrt{2001}$, $2(999)+2+\sqrt{2001}=2000+\sqrt{2001}\in A$.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
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