COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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COFFEE
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COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Mensaje sin leer por COFFEE » Vie 05 Jun, 2020 12:02 am

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0)$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

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COFFEE
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Mensaje sin leer por COFFEE » Lun 08 Jun, 2020 8:58 am

Solución oficial 1
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Veamos qué remplazos podemos hacer para que la ecuación se simplifique y nos dé información más clara sobre $f$.
Si queremos que el $x-f(y)$, que está dentro de la función del lado izquierdo, se simplifique, podríamos hacer el reemplazo $x=f(y)$ para que nos quedo $f(x-f(y))=f(0)$ y así tendríamos:
$$f(0)=-f(y)^2+2f(y)f(y)+f(f(y))+f(0) \implies f(f(y))=-f(y)^2.$$
Esto nos permite transformar la ecuación original en $f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)-f(y)^2+f(0)$, reemplazando el término $f(f(y))$ por $-f(y)^2$, pues esta igualdad vale para todo valor de $y$ real.
Ingeniosamente, nos podemos dar cuenta de que $-x^2+2xf(y)-f(y)^2$ se puede expresar como $-(x-f(y))^2$. Y ahora la ecuación resulta ser:
$$f(x-f(y))=-(x-f(y))^2+f(0).$$
Esta ecuación ya nos da una pista de cómo debería ser $f$, pero debemos hacer algunos reemplazos más para llegar realmente a la solución del problema.
Fijemos $y=0$ (aunque podría ser cualquier otro valor), de esta manera tenemos que $f(x-f(0))=-(x-f(0))^2+f(0)$, como $f(0)$ es un número real (fijo), notemos que $x-f(0)$ recorre todos los números reales cuando movemos $x$, es decir, si queremos que $x-f(0)=z$ donde $z$ es un número real cualquiera, basta hacer el reemplazo $x=z+f(0)$. Por lo tanto, podemos llamar $z=x+f(0)$ y nos queda, $f(z)=-z^2+f(0)$ para todo $z \in \mathbb{R}$. Entonces toda posible solución de la ecuación es de la forma $f(z)=-z^2+k$, para algún valor $k \in \mathbb{R}$, donde $k$ representa el valor de $f(0)$. Veamos qué valores puede tomar $k$ para que se satisfaga la condición original.
$$-(x-(-y^2+k))^2+k=-x^2+2x(-y^2+k)+(-(-y^2+k)^2+k)+f(0)$$
Un par de cuentas después, tenemos:
$$-x^2-2xy^2+2xk-y^4+2y^2k-k^2+k=-x^2-2xy^2+2xk-y^4+2y^2k-k^2+k+f(0) \quad (*)$$
Restando a ambos lados los términos repetidos, nos queda:
$0=f(0)$
pues el lado derecho nos queda exactamente igual al lado izquierdo, salvo por el $f(0)$. Por lo tanto, la única solución al problema es $f(z)=-z^2$.

¿Y la verificación? ¿Cómo nos vamos a olvidar de la verificación? En este caso, cuando hicimos el reemplazo $(*)$ en la ecuación del enunciado, estamos calculando $k$ y a su vez, verificando que la $f$ encontrada cumple la ecuación (para los valores de $k$ para los que sea cierta la igualdad), así que no hace falta verificar nuevamente.
Solución oficial 2
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Podemos arrancar el problema de otra manera, buscando que el lado izquierdo quede igual a $f(f(y))$ para que este término se cancele con el que aparece del lado derecho. Para eso, podemos hacer el reemplazo $x=2f(y)$ y nos quedaría la ecuación:
$$f(2f(y)-f(y))=-(2f(y))^2+2(2f(y))f(y)+f(f(y))+f(0) \implies f(f(y))=-4f(y)^2+4f(y)^2+f(f(y))+f(0)$$
Esto salió aún mejor de lo que planeábamos, por no sólo podemos restar el $f(f(y))$ que aparece de ambos lados, sino que del lado derecho tenemos $-4f(y)^2+4f(y)^2=0$. De esta manera podemos decir que $f(0)=0$.
Sabiendo esto, es muy razonable hacer el reemplazo $y=0$, para que los $f(y)$ y nos queda:
$$f(x)=-x^2$$
Lo único que queda entonces es verificar que esta $f$ cumple la ecuación del enunciado. Es decir, debemos probar que:
$$-(x-(-y^2))^2=-x^2+2x(-y^2)+(-(-y^2)^2) \quad (*)$$
Expandiendo la expresión de cada lado tenemos, por el lado izquierdo, que $-(x-(-y^2))^2=-x^2-2xy^2-y^4$ y por el lado derecho, que $-x^2+2x(-y^2)+(-(-y^2)^2)=-x^2-2xy^2-y^2$. Por lo tanto, vale la igualdad $(*)$ y esto dice que $f(x)=-x^2$ es solución al problema.

Ianoni

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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Mensaje sin leer por Ianoni » Lun 08 Jun, 2020 9:21 am

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Remplacemos $x = 2f(y)$, con esto nos queda:

$f(2f(y) − f(y)) = -(2f(y))^2 + 2*2f(y)f(y) + f(f(y)) + f(0)$

$f(f(y)) = -4f(y)^2 + 4f(y)^2 + f(f(y)) + f(0)$

$f(f(y)) = f(f(y)) + f(0)$

Acá, despejamos $f(0)$

$f(f(y)) - f(f(y)) = f(0)$

Entonces $f(0) = 0$

Ahora, remplazamos en la ecuación original $y=0$, nos queda :

$f(x − f(0)) = -x^2 + 2xf(0) + f(f(0)) + f(0)$

$f(x) = -x^2 + 2x*0+ f(0) + 0$

$f(x) = -x^2 + 0+ 0+ 0$

$f(x) = -x^2 $, ahora hay que ver si cumple remplazando lo que obtuve:

$f(x + y^2) = -x^2 + 2x(-y^2) - y^4$

$-(x+y^2)^2 = -x^2-2xy^2-y^4$

$-(x^2+2xy^2+y^4) = -x^2-2xy^2-y^4$

$-x^2-2xy^2-y^4 = -x^2-2xy^2-y^4$

Entonces el lado izquierdo y el lado derecho son iguales, sin importar que valores tomen $x$ e $y$, entonces la función satisface la condición del enunciado por lo que podemos dar por terminado el problema, es una función sola, que es $f(x) = -x^2 $.

Fedex

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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Mensaje sin leer por Fedex » Lun 08 Jun, 2020 11:18 am

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$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0)$

Consideramos un reemplazo: $x=f(y)$
$f(0) = -f(y)^2+2f(y)^2+f(f(y))+f(0)$
$0 = f(y)^2 + f(f(y))$
$f(f(y)) = -f(y)^2$

Reemplazamos esto en la ecuación original obteniendo:
$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)-f(y)^2 + f(0) = - [x^2-2xf(y)+f(y)^2] + f(0) = -(x-f(y))^2 + f(0)$
Si tomamos $y=0$:
$f(x-f(0)) = -(x-f(0))^2 + f(0)$
Ahora $x=c+f(0)$ siendo $c$ una variable que puede tomar cualquier valor real.
$f(c) = -c^2 + f(0)$

Solo nos queda determinar si esta función anda y decidir los posibles valores de $f(0)$:
$f(x-f(y))=-x^2+2xf(y)+f(f(y))+f(0)$
$f(x+y^2-f(0))=-x^2+2x(-y^2+f(0))+f(-y^2+f(0))+f(0)$
$-(x+y^2-f(0))^2 + f(0) = -x^2-2xy^2+2xf(0)-(-y^2+f(0))^2+2f(0)$
$-(x+y^2-f(0))(x+y^2-f(0)) = -x^2-2xy^2+2xf(0) -y^4 +2f(0)y^2-f(0)^2+f(0)$
$-[x^2 + 2xy^2-2xf(0)+y^4-2f(0)y^2+f(0)^2] = -x^2-2xy^2+2xf(0) -y^4 +2f(0)y^2-f(0)^2+f(0)$
$-x^2 - 2xy^2+2xf(0)-y^4+2f(0)y^2-f(0)^2 = -x^2-2xy^2+2xf(0) -y^4 +2f(0)y^2-f(0)^2+f(0)$
$f(0) = 0$

Por lo que la única función que satisface la condición del ejercicio es $f(x) = -x^2$
2  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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Dauphineg

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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 08 Jun, 2020 12:08 pm

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Haciendo $x=f(y)$ en la ecuación inicial tenemos $f(0)=-\left [ f(y) \right ]^{2}+2.f(y).f(y)+f(f(y))+f(0)\Rightarrow 0=\left [ f(y) \right ]^{2}+f(f(y))\Rightarrow -\left [ f(y) \right ]^{2}=f(f(y))$ $(*)$
Si reemplazamos esto último en la ecuación inicial tenemos $f(x-f(y))=-x^2+2.x.f(y)-\left [ f(y) \right ]^{2}+f(0)$
$\Rightarrow f(x-f(y))=-(x^2-2.x.f(y)+\left [ f(y) \right ]^{2})+f(0) \Rightarrow f(x-f(y))=-\left [ x-f(y) \right ]^{2}+f(0)$
Haciendo $x=2f(y)$ en esta última igualdad nos queda $f(f(y))=-\left [ f(y) \right ]^{2}+f(0)$ y usando $(*)$ concluimos que $f(0)=0$ $\Rightarrow$ dicha última igualdad queda asi $ f(x-f(y))=-\left [ x-f(y) \right ]^{2}$ $(**)$
Sean $a,b \in \mathbb{R}$, tomamos $x=b+f(a), y=a$ en $(**)$ $\Rightarrow f(b)=-b^{2}$ y esto ocurre para cualquier $b \in \mathbb{R}$
Verifiquemos que la función cumple la ecuación original
Para esto notar primero dos cosas de dicha función: $f(0)=0$
Ademas que si tomamos $b=f(y)$ con $y\in \mathbb{R}$ nos queda $f(f(y))= -\left[f(y) \right ]^{2}$ para todo $y\in \mathbb{R}$
Luego $f(x-f(y))=-\left [x-f(y) \right ]^{2}= -x^2+2.xf.(y)-\left[f(y) \right ]^{2}+0=-x^2+2.x.f(y)+f(f(y))+f(0)$
Quedo confirmado que la única función que verifica es $f(x)=-x^2$

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