COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

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COFFEE
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COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Mensaje sin leer por COFFEE » Vie 05 Jun, 2020 12:02 am

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f\left (x^2-y^2\right )=(x+y)(f(x)-f(y))$$para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$.

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COFFEE
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Mensaje sin leer por COFFEE » Lun 08 Jun, 2020 8:59 am

Solución Oficial:
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Intentemos hallar $f(0)$. Reemplazamos $y=x$, la condición del enunciado nos dice que$$f\left (x^2-x^2\right)=(x+x)(f(x)-f(x))$$entonces$$f(0)=0$$Ahora, considerando $y=0$ tenemos que $f\left (x^2\right )=xf(x)$, y considerando $x=0$ tenemos que $f\left (-y^2\right )=-yf(y)$, juntando estos dos resultados obtenemos$$f\left (-y^2\right )=-yf(y)=-f\left (y^2\right )$$como $y^2$ recorre todos los reales no negativos (por ejemplo, si queremos hacer que $y^2=k$, consideramos $y=\sqrt{k}$), tenemos que para cada real $x$ vale que $f(-x)=-f(x)$.
Ahora, notemos que usando $y=k$ o $y=-k$ obtenemos que $y^2=k^2$, entonces en ambos casos el lado izquierdo de la igualdad es $f\left (x^2-k^2\right)$. Vamos a hacer los reemplazos $y=1$ e $y=-1$, en el primer caso obtenemos$$f\left (x^2-1\right )=(x+1)(f(x)-f(1))$$en el segundo caso obtenemos$$f\left (x^2-1\right )=(x-1)(f(x)-f(-1))=(x-1)(f(x)+f(1))$$donde usamos que $f(-1)=-f(1)$. Igualando estas expresiones obtenemos que$$\begin{align*}(x+1)(f(x)-f(1)) & =(x-1)(f(x)+f(1)) \\
xf(x)-xf(1)+f(x)-f(1) & =xf(x)+xf(1)-f(x)-f(1) \\
2f(x) & =2xf(1) \\
f(x) & =xf(1)
\end{align*}$$pongamos $f(1)=c$, entonces $f(x)=xc$, vamos a ver que esta función verifica la ecuación del enunciado sin importar el valor de $c$.
Evaluando del lado izquierdo y usando diferencia de cuadrados tenemos$$f\left (x^2-y^2\right )=\left (x^2-y^2\right )c=(x+y)(x-y)c$$evaluando del lado derecho tenemos$$(x+y)(f(x)-f(y))=(x+y)(xc-yc)=(x+y)(x-y)c$$como ambos lados valen lo mismo, resulta que $f(x)=xc$ verifica la ecuación del enunciado sin importar el valor de $c$, por lo tanto, esas son todas las funciones que cumplen.

Gabriel Bernal

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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Mensaje sin leer por Gabriel Bernal » Lun 08 Jun, 2020 11:49 am

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Tomamos $x=y=0$ y $f(0)=0$.
Con $x=0$ se llega a $-f(-y^2)=yf(y)$ y con $y=0$, $f(x^2)=xf(x)$. Con $t=x^2$ e igualando ambas expresiones tengo $f(t)=-f(-t)$.
Tomo $y=-y$ (y usando lo recién visto) llego a $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$. Pero vemos que esto se puede igualar a la ecuación original, por ende $$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$$ $$xf(x)-xf(y)+yf(x)-yf(y)=xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)$$ $$2yf(x)=2xf(y)$$ $$yf(x)=xf(y)$$ Si $y=0$ sé que $f(y)=f(0)=0$ por lo que no hay ningún problema. Si $y\neq 0$:

$f(x)=\frac {xf(y)}{y}$, tomando dos números reales cualesquiera $a$ y $b$ tal que $a=f(y)$ y $b=y$ tengo $f(x)=\frac{xa}{b}$. Reemplazando esto en la ecuación original tengo $f(x^2-y^2)=\frac{ax^2-ay^2}{b}$. Y del lado derecho, $(x+y)(f(x)+f(y))=(x+y)(\frac{xa}{b}-\frac{ya}{b})=\frac{x^2a}{b}-\frac{xya}{b}+\frac{xya}{b}-\frac{y^2a}{b}=\frac{x^2a-y^2a}{b}$. En ambos lados es lo mismo por lo que es solución.

Las solución entonces es $f(x)=\frac{xa}{b}$ para todo par de reales $a$, $b$ con $b\neq 0$.]
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Dauphineg

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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Mensaje sin leer por Dauphineg » Lun 08 Jun, 2020 12:00 pm

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Haciendo $x=0,y=0$ en la ecuación inicial tenemos que $f(0)=0$
Haciendo $x=-1,y=0$ en la ecuación inicial tenemos que $f(1)=-f(-1)$
Llamamos $f(1)=c$ entonces de lo anterior $f(-1)=-c$ $(*)$
Tomemos cualquier $k\in \mathbb{R}$, haciendo $x=k, y=1$ en la ecuación inicial tenemos $f\left (k^2-1\right )=(k+1).(f(k)-f(1))$ $\left \langle 1 \right \rangle$
Ahora haciendo $x=k, y=-1$ en la ecuación inicial tendremos
$f\left (k^2-1\right )=(k-1).(f(k)-f(-1))$ $\left \langle 2 \right \rangle$
De $\left \langle 1 \right \rangle$ y $\left \langle 2 \right \rangle$ tenemos que para todo $k\in \mathbb{R}$, $(k+1).(f(k)-f(1))=(k-1).(f(k)-f(-1))$
$\Rightarrow$ usanado $(*)$ llegamos a $(k+1).(f(k)-c)=(k-1).(f(k)+c)$ $\Rightarrow (k+1).f(k)-(k+1). c=(k-1).f(k)+(k-1).c$ $\Rightarrow 2.f(k)=2.c.k$
$\Rightarrow f(k)=c.k$ y esto ocurre para cualquier $k\in \mathbb{R}$
Solo resta verificar que $f(x)=c.x$ cumple la ecuación inicial para cualquier $c\in \mathbb{R}$
$f\left (x^2-y^2\right )= c.\left (x^2-y^2\right )=c.(x-y).(x+y)=(x+y).(c.x-c.y)=(x+y)(f(x)-f(y))$
Quedo confirmado que las únicas funciones que cumplen son las funciones $f(x)=c.x$ donde $c\in \mathbb{R}$

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