Zonal 2009 N3 P2

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Gianni De Rico

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Zonal 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 29 May, 2020 3:32 pm

Los participantes de una olimpíada compartieron un almuerzo de camaradería, con precio fijo. Al terminar, el mozo llevó la cuenta, que era de $\$1680$. Dividieron entre el número de participantes, pero el dinero no alcanzó porque $4$ personas ya se habían retirado. Así que cada uno de los presentes debió agregar $\$1$. Calcular cuántos participantes hubo en el almuerzo.
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LorenzoRD

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Re: Zonal 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Mar 30 Jun, 2020 11:20 pm

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$n$ = numero personas total
$k$ = Cuanto pago c/u
$n$ y $k$ deben ser no negativos, $n$ es entero. Debemos hallar $n$.

Con los datos, nos quedan las siguientes dos ecuaciones:
$1680 = nk$
$1680 = (n - 4)(k + 1)$

$nk = nk + n - 4k - 4$
$n = 4k + 4$

$1680 = (4k + 4)k$
$1680 = 4k^2 + 4k$
$k^2 + k - 420 = 0$
$k_1 = -21$
$k_2 = 20$
Como $k$ es no negativo, tenemos que $k = 20$

$1680 = 20n$
$n = 84$

Hubo $84$ participantes en el almuerzo.

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Tomás Morcos Porras

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Re: Zonal 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Mié 01 Jul, 2020 11:55 am

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$n$ es el número de personas en total.
Sabemos que repartieron equitativamente los $\$1680$ entre las $n$ personas, tenemos que cada una pagó $\frac{\$1680}{n}$. Sabemos también que $4$ personas no pagaron y que el resto de personas ($n-4$) aportaron cada una $1$ para juntar la cantidad que faltaba. Es decir, la cantidad que cuatro pagan es igual a $\$1$ por cada persona que quedaba. Podemos meter los datos en una ecuación y nos queda que:
$(\frac{\$1680}{n})\times 4=\$1\times (n-4)$
$\frac{6720}{n}=n-4$
$6720=n^2-4n$
$0=n^2-4n-6720$

De ahí, por Baskhara:

$n=\frac{4+\sqrt{16-4\times 1\times (-6720)}}{2}$
$n=\frac{4+\sqrt{16+26880}}{2}$
$n=\frac{4+164}{2}$

$n=84$
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

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