Iberoamericana 1985 P5

[joa.fernandez]

A cada entero positivo $n$ se asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:

1. $f(rs)=f(r)+f(s)$
2. $f(n)=0$, siempre que la cifra en las unidades $n$ sea $3$.
3. $f(10)$ es cero.

Halle $f(1985)$. Justifique su respuesta.

[joa.fernandez]

Ojo que muerde

Spoiler: mostrar

$f(1985) = f(397\cdot 5) = f(397) + f(5)$ por i.
$0=f(10)=f(2) + f(5)$ por i. y iii., y como son enteros no negativos $f(2)=f(5)=0$
Además, $f(397)+f(9)= f(397\cdot 9)=f(3573)=0$ por ii., y como son enteros no negativos $f(397)=f(9)=0$
Entonces, $f(1985) = f(397) + f(5) = 0$. $\blacksquare$