Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 1 - Problema 1

[Monazo]

La Asociación Vida Silvestre de Saladillo tiene $50$ miembros. El sábado cada uno de los presentes plantó $17$ árboles y el domingo cada uno de los presentes plantó $20$ árboles. En total se plantaron $1545$ árboles. ¿Cuántos miembros de la Asociación faltaron el sábado y cuántos faltaron el domingo?

[Tomás Morcos Porras]

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Llamemos $S$ y $D$ a las cantidades de árboles plantados el sábado y el domingo respectivamente. Llamemos $M_S$ y $M_D$ a las cantidades de miembros que asistieron cada día.
Sabemos que $S+D=1545$, y que $S$ es múltiplo de $17$ y $D$ de $20$.
Pongamos la ecuación en módulo $20$:
$S+20M_D\equiv 1545$ (mód $20$)
$S+0\equiv 5$ (mód $20$)
De ahí, vemos los múltiplos de $17$ que cumplen.
Caso 1: $M_S=5$
$S=85\implies D=1545-85=1460\implies M_D=\frac{1460}{20}=73$, pero solo hay $50$ miembros, absurdo.
Caso 2: $M_S=25$
$S=425\implies D=1545-85=1120\implies M_D=\frac{1120}{20}=56$, pero solo hay $50$ miembros, absurdo.
Caso 3: $M_S=45$
$S=765\implies D=1545-765=780\implies M_D=\frac{780}{20}=39$
En el único caso no absurdo, asisten $45$ el sábado y $39$ el domingo, Entonces, el sábado faltaron $5$ y el domingo $11$.

[usuario250]

17 x + 20 y = 1545 con x,y <= 50

20 y <= 20 *50 = 1000, por lo que 17 x >= 545, por lo que x > 32
17 x <= 17 *50 = 850, por lo que 20 y >= 695, por lo que y > 34

1545 tiene resto 5 en la división por 20, luego 17 x tiene resto 5 en la división por 20, por lo que (tarea para el lector) x tiene resto 5 en la división por 20.

Luego, 32< x <= 50 y x tiene resto 5 en la división por 20, por lo que x = 45.

Luego, 45 * 17 = 765, por lo que 20 y = 780, de donde y = 39

Luego, el sábado fueron 45 y el domingo 39, por lo que el sábado faltaron 5 y el domingo 11.

[¿hola?]

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Llamemos $S$ y $D$ a las cantidades de árboles plantados el sábado y el domingo respectivamente. Llamemos $M_S$ y $M_D$ a las cantidades de miembros que asistieron cada día.
Sabemos que $S+D=1545$, y que $S$ es múltiplo de $17$ y $D$ de $20$.
Pongamos la ecuación en módulo $20$:
$S+20M_D\equiv 1545$ (mód $20$)
$S+0\equiv 5$ (mód $20$)
De ahí, vemos los múltiplos de $17$ que cumplen.
Caso 1: $M_S=5$
$S=85\implies D=1545-85=1460\implies M_D=\frac{1460}{20}=73$, pero solo hay $50$ miembros, absurdo.
Caso 2: $M_S=25$
$S=425\implies D=1545-85=1120\implies M_D=\frac{1120}{20}=56$, pero solo hay $50$ miembros, absurdo.
Caso 3: $M_S=45$
$S=765\implies D=1545-765=780\implies M_D=\frac{780}{20}=39$
En el único caso no absurdo, asisten $45$ el sábado y $39$ el domingo, Entonces, el sábado faltaron $5$ y el domingo $11$.

Gracias e igualmente!!

[marcoalonzo]

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Sean $x$ la cantidad de personas que asistieron el sábado e $y$ la cantidad de personas que asistieron el domingo, se plantea la ecuación $17x+20y=1545$
Lógicamente $x$ e $y$ son enteros, entonces tenemos una ecuación diofántica. El $mcd(17; 20)=1|1545$, por lo tanto tiene solución.
Entonces $x=85+20k$ e $y=5-17k$ con $k$ entero. Se debe cumplir que, a lo poco y a lo mucho $1\leq 85+20k\leq 50$ (se podría pensar en una mejor cota), de donde $-4\leq k \leq -1$. Análogamente de $y$ se llega a que $-2\leq k \leq 0$. Por lo tanto $-2\leq k \leq -1$ para que se verifiquen ambas desigualdades.

• Si $k=-2$ luego $x=85+20\cdot (-2)=45$ e $y=5-17\cdot (-2)=39$.

• Si $k=-1$ luego $x=85+20\cdot (-1)=65$ e $y=22$, absurdo.

Se concluye que asistieron $45$ personas el sábado y $39$ el domingo, por lo tanto faltaron $50-45=5$ el sábado y $50-39=11$ el domingo.