FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Fran5

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FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 09 Abr, 2020 12:14 am

A las doce de la noche, el Diegote se tiró de un puente a un río y empezó a nadar a una velocidad constante en el sentido contrario de la corriente. A la una de la mañana, cambió su sentido y empezó a nadar a favor de la corriente a la misma velocidad. Cuando el Diegote volvió a pasar por debajo del puente del que se había tirado originalmente, el Monazo le dijo que su gorra se había caído al río al mismo tiempo que el Diegote había saltado del puente.

El Diegote continuó nadando a favor de la corriente a la misma velocidad a la que estaba nadando, hasta toparse con la gorra del Monazo a exactamente un kilómetro del puente. ¿Cuál era la velocidad de la corriente?
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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 13 Abr, 2020 12:31 am

Una observación:
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Si $v$ es la velocidad del Diegote y $c$ es la velocidad de la corriente, entonces tiene que pasar que $v >c$ para que el Diegote pueda pasar por debajo del puente y que $c> 0$ para que el Diegote se encuentre nuevamente con la gorra a un kilómetro del puente.
Solución 1
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Recordemos que la fórmula de velocidad está dada por $v = \frac{d}{t}$, donde $d$ fue la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo $t$.
Sea $x$ (en) la distancia recorrida por el Diegote en la primer hora, y sea $t > 0$ (en $\text{h})$ el tiempo total que estuvo nadando luego de dar la vuelta.

Como el Diegote nadó durante una hora, tenemos que $(v-c) \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{x}{1} \frac{\text{km}}{\text{h}} = x \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Como el Diegote a la vuelta nadó $(x+1) \text{km}$, tenemos que $(v+c) \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{x+1}{t} \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Como el Gorro estuvo flotando hasta $1 \text{km}$, tenemos que $c = \frac{1}{t+1} \frac{\text{km}}{\text{h}}$
De aquí en adelante nos olvidaremos de las unidades.

De la primer ecuación tenemos $x = v-c$ y de la tercer ecuacion vemos que $c(t+1) = 1$. Luego, sumando, tenemos que $$v-c+c(t+1)=x+1 = (v+c)t$$
Reagrupando, tenemos que $$0= v-c+c(t+1)-t(v+c) = v-c+ct+c-tv-tc = v-tv =v(t-1)$$

Como $v \neq 0$ debe ser $t = 1$, con lo que la velocidad de la corriente resulta en $c = \frac{1}{t+1} = \frac{1}{2} = 0.5 \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Solución 2
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Observemos que tanto el Diegote como la gorra se "desplazan" por el río a velocidad constante $c$. Desde el punto de vista de la gorra, el Diegote se aleja a una velocidad $v$ durante $1$ hora, hasta estar separados por una distancia $d = v \times 1$. Cuando el Diegote da la vuelta, se acerca a la misma velocidad $v$ durante un tiempo $t$, de modo que $v \cdot t = d$. Pero $d = v \times 1$, con lo que $t = 1$. Entonces transcurrieron $1+t = 1+1 =2$ horas, en el cual recorrió $1 \text{km}$. De este modo la velocidad $c$ es igual a $\frac{1}{2} \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Solución 3
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Geometría
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joa.fernandez

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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Lun 13 Abr, 2020 12:39 am

Solución:
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Para comenzar, adjunto la gráfica de la posición en función del tiempo de Diegote y la gorra del Monazo.
Gráfica Problema 3 FOFO.jpg
Notemos que $Xf$ (que por dato es $1km$) es la posición de encuentro de ambos, $Xp$ es la posición en la que Diegote decide cambiar el sentido de nado, $G$ será nuestro sistema de referencia $(0;0)$, donde parten ambos, $tv$ será el momento en el que Diegote cambia el sentido (que por dato es $1h$) y $tf$ será el momento de encuentro de ambos. También definimos a la velocidad del Diegote como $Vd$ y a la velodad de la corriente como $Vc$.
Por la definición de velocidad (distancia recorrida por un objeto en unidad de tiempo) tenemos las siguientes ecuaciones (cancelo las unidades de distancia y tiempo antes de comenzar con el desarrollo, ya que no afectan en el resultado final):
$Vd - Vc = \frac{\left | Xp \right |}{1}$ $(1)$ (el módulo es para ahorrarme tener que trabajar con velocidades negativas)
$Vd + Vc = \frac{\left | Xp \right |+1}{tf-1}$ $(2)$
$Vc = \frac{1}{tf}$ $(3)$.
Reemplazando $(3)$ en $(1)$ y en $(2)$:
$Vd - \frac{1}{tf} = \left | Xp \right |$ $(4)$
$Vd + \frac{1}{tf} = \frac{\left | Xp \right |+1}{tf-1} ~~\Rightarrow~~ tf \cdot Vd - Vd +1 - \frac{1}{tf} = \left | Xp \right |+1~~\Rightarrow~~ tf \cdot Vd - Vd - \frac{1}{tf} = \left | Xp \right |$ $(5)$.
$(4) - (5)$:
$ Vd - \frac{1}{tf} - (tf \cdot Vd - Vd - \frac{1}{tf}) = \left | Xp \right | -\left | Xp \right |~~ \Rightarrow~~ 2Vd -tf \cdot Vd = 0~~\Rightarrow~~ Vd(2-tf)=0$
y como $Vd \neq 0 ~~\Rightarrow~~ 2-tf=0~~\Rightarrow~~ 2=tf$.
Reemplazando en $(3)$:
$\frac{1}{2} = Vc$.
Por lo tanto, la velocidad de la corriente era de $\frac{1}{2} \frac{km}{h}$. $\blacksquare$
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Última edición por joa.fernandez el Mié 15 Abr, 2020 2:06 pm, editado 1 vez en total.

Bat

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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por Bat » Lun 13 Abr, 2020 12:42 am

Solucion
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Llamamos:
$V_c =$ Velocidad de la corriente
$V_D =$ Velocidad del Diegote
$t_f =$ Tiempo en el que el Diegote y la Gorra se encuentra.
$X =$ Distancia recorrida por el Diegote desde el momento 0 hasta pasada 1h.

Sabemos que la Gorra se mueve durante $t_f$hs a la velocidad de la corriente y recorre así $1$km.
Planteamos la fórmula de la Velocidad media: $V_c = \frac{1km}{t_fhs}$ (a)
Luego, durante una hora el diegote se mueve a velocidad $V_D - V_c$ (ya que va en contra de la corriente) y recorre $X$.
Planteamos la fórmula de la Velocidad media: $V_d - V_c = \frac{Xkm}{1hs}$ (1)
Por último, desde el momento $1$h hasta $t_f$hs (es decir, en $t_f-1$hs) recorre $(X+1)$km
Planteamos la fórmula de la Velocidad media: $V_d + V_c = \frac{X+1km}{t_f-1hs}$ (2)

Reemplazamos (a) en (1) y (2) y tenemos el Sistema de Ecuaciones:
(1) $V_d - \frac{1km}{t_fhs} = \frac{Xkm}{1hs}$
(2) $V_d + \frac{1km}{t_fhs} = \frac{X+1km}{t_f-1hs}$

Despejamos $V_d$ de ambas ecuaciones y las igualamos:
$V_d = \frac{1km}{t_fhs} + \frac{Xkm}{1hs} = - \frac{1km}{t_fhs} + \frac{X+1km}{t_f-1hs}$
Agrupamos los $ \frac{1km}{t_fhs}$ del lado izquierdo y agrupamos las fracciones:
$\frac{2km}{t_fhs} + \frac{Xkm}{1hs} = \frac{X+1km}{t_f-1hs}$
$\frac{(2+X\times t_f)km}{t_fhs} = \frac{X+1km}{t_f-1hs}$
Multiplicamos cruzado:
$Xt_f^2 - Xt_f + 2t_f -2 = Xt_f + t$
Y pasamos todo del lado izquierdo:
$Xt_f^2 - 2Xt_f + t_f -2 =0$
$Xt_f^2 + (1-2X)t_f -2 =0$
Y plateamos la Formula Resolvente para la Cuadrática en función de t_f (para comodidad, llamemoslo t a partir de ahora)
$t=\frac{-(1-2X)\pm \sqrt{(1-2X)^2 - 4X\times (-2)}}{2\times X}$
Resolvemos y tenemos que:
$t=\frac{-1+2X\pm \sqrt{1- 4X + 4X^2 + 8X}}{2X}$
$t=\frac{-1+2X\pm \sqrt{1 +4X + 4X^2}}{2X}$
Es fácil ver que $(2X+1)^2 = 1 +4X + 4X^2$
Por lo tanto podemos resolver la Raiz:
$t=\frac{-1+2X\pm (2X+1)}{2X}$
Nos deja las 2 soluciones:
$t=\frac{-1+2X + (2X+1)}{2X} = \frac{4X}{2X} = 2$
$t=\frac{-1+2X - (2X+1)}{2X} = \frac{-1+2X - 2X - 1)}{2X} = \frac{-2}{2X} = \frac{-1}{X}$

Como $t$ es una medida del tiempo y es positiva (ya que es el tiempo que transcurrió desde que el Diegote saltó hasta encontrar la gorra), entonces $t=2$.

Ahora volvemos a la ecuación (a) $V_c = \frac{1km}{t_fhs}$ y reemplazamos el tiempo:
$V_c = \frac{1km}{2hs} = 0,5 \frac{km}{h}$
Por lo tanto hemos encontrado la velocidad de la corriente y resuelto así el problema.
Fin de la solución.

Nota: No es una solución de la que me enorgullezca mucho, pero toda solución es solución hasta que un Jurado de la FOFO demuestre lo contrario.

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NicoRicci

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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por NicoRicci » Lun 13 Abr, 2020 9:00 am

Subo esta solución que sorprendentemente es relativamente corta...
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Resolvemos sabiendo que $V = \frac{d}{t}$ (velocidad = distancia sobre tiempo)

Llamamos $V_d = \frac{ \Delta km. }{h}$ a la velocidad constante del Diegote
Y $V_c = \frac{\Gamma km. }{h}$ a la velocidad constante de la corriente.

Luego, al Diegote nadar en contra de la corriente, nada a $\frac{(\Delta - \Gamma) km. }{h}$, y al nadar a favor de ella, nada a $\frac{(\Delta + \Gamma) km. }{h}$

Como sale a las $12$ y cambia su sentido a las $1$, nada $1$ hora en contra de la corriente, es decir, $(\Delta - \Gamma)$ kilómetros.

Sea $p$ la cantidad de horas desde la $1$ hasta encontrar la gorra, luego, la velocidad del Diego a favor de la corriente equivale a la distancia recorrida sobre el tiempo, es decir, $$\frac{ (\Delta + \Gamma) km.}{h} = \frac{ (\Delta - \Gamma + 1) km.}{p . h}$$

Además, sabiendo que la velocidad de la gorra es $V_c$, $$V_c = \frac{1 km.}{(p + 1) h.}$$ al ser la distancia recorrida de la gorra ($1$ km.) sobre el tiempo en que tardó en llegar, que es el mismo en que el Diegote saltó hasta que encontró la gorra ($p + 1$ horas).

Ahora bien, en la primera ecuación cancelamos $h$. y $km$., pasamos $p$ multiplicando y reemplazamos $\Gamma$ por $\frac{1}{(p + 1)} $, nos queda
$$(\delta + \frac{1}{(p + 1)} ) p = (\delta - \frac{1}{(p + 1)} + 1)$$
$$\delta . p + 1 = \delta + 1$$
$$p = 1$$
Reemplazando $p$ en la segunda ecuación, tenemos
$$V_c = \frac{1 km.}{2 h.} = \frac{0,5 km.}{ h.}$$
Es decir, la velocidad de la corriente es de medio kilómetro ($500$ metros) por hora.
OWEEEEEEE

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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por NPCPepe » Mar 14 Abr, 2020 3:24 am

No se si estara bien porque es demasiado corta:
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Si el Diegote nada $1$ hora (de las $12:00$ a la $1:00$) en contra de la corriente y $1$ hora hacia el otro lado, como va a la misma velocidad, hubiera recorrido la misma distancia para un lado y para el otro y estaría en el mismo punto sobre el río que cuando empezó a nadar, es decir que estaría en el mismo punto que hubiera estado si se tiraba del puente y quedaba flotando, es decir en el mismo punto que la gorra.
Entonces pasaron $2$ horas hasta que el Diegote alcanzó a la gorra, es decir pasaron $2$ horas desde que cayó la gorra hasta que se movió $1$ km por lo que la velocidad de la corriente es $\frac{1km}{2h}=0,5\frac{km}{h}$
2  
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 19 Abr, 2020 9:34 pm

Las soluciones enviadas estuvieron muy interesantes. Casi que no hubo tres participantes con el mismo approach para resolverlo.

Un comentario muy importante que quiero hacer: Es importante chequear que $V_{Diegote} \neq 0$ si quitamos dividiendo en una ecuación
En este tipo de problemas se podía sobreentender, pero en un problema genérico en el que se realicen manipulaciones algebraicas es importante :P
1  
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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 3

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 19 Abr, 2020 9:53 pm

Vengo a dejar la solución oficial 3:
Spoiler: mostrar
En mi defensa, había muy poca geometría en la prueba...


algo..png
Grafiquemos el punto en el que se encuentran Dieguito y la gorra de Mati en cada momento. Denominamos por $O$ al punto donde empezaron, por $A$, $V$ y $B$ a las ubicaciones del puente, Dieguito y la gorra a la 1 de la mañana y por $C$ al punto de encuentro entre Diegucho y la gorra.
Si la corriente tiene velocidad $u$ y Dieguito $v$, entonces los módulos de las pendientes de $OV$, $OB$ y $VC$ son $v-u$, $u$ y $v+u$, respectivamente. Entonces, si tomamos $V'$ en $VA$ tal que $OV'\parallel VC$ vale que la pendiente de $OV'$ ($v+u$) es la pendiente de $OV$ ($v-u$) más el doble de la de $OB$ ($2u$). En otras palabras,
$$AV'=AV+2AB\Longrightarrow BV'=VB.$$
Por lo que $B$ es punto medio de $VV'$. De este modo, por Thales, $B$ es punto medio de $OC$.
Para finalizar, se sigue que $AB$ mide la mitad que la distancia de $C$ a $OA$, que es $1$. Es decir $AB=\frac{1}{2}$. También, como $OA$ es igual a $1$ el módulo de la pendiente de $OB$, que es igual a $u$, vale $\frac{1}{2}$.
Así que la velocidad de la corriente es de $u=\frac{1}{2}\text{km/h}$.
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